第一章 函数、极限和连续

[考点1]无穷小量及其阶的问题

题目 回答情况
第1题 x x
第2题 x √
第3题 x √
第4题 x √
第5题 √

总结

计算能力有待提高！

[考点2]函数极限的计算

题目 回答情况
第6题 x √
第7题 x √
第8题 x √
第9题 x √
第10题 √
第11题 x x
第12题 x x
第13题 x x
第14题 x x
第15题 x x
第16题 √
第17题 x x
第18题 x x
第19题 x x

总结

第六题：要求满足$\displaystyle\lim_{x\to\Delta}f(x,a) = \displaystyle\lim_{x\to\Delta}g(x)$式子中的$a$的值，只需要将左右极限算出，取相等，解除$a$即可。

第七题：等价无穷小中没有$\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\sqrt[x]{1 + \Delta} - 1 \sim \frac{\Delta}{x}$ 。

第八题：注意$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x\sin{x} - x(1 + x)}{x^2\ln{(x + \sqrt{1 + x^2})}} \sim \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^xx - x(1 + x)}{x^2\ln{(x + \sqrt{1 + x^2})}} \sim \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x - (1 + x)}{x\ln{(x + \sqrt{1 + x^2})}}$这是不成立的！
因为$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x} - x}{x}$不能直接使用等价无穷小。
这里需要遵循一个原则：
(1) 若 $\alpha \sim \alpha_1，\beta \sim \beta_1，$且$\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1} = A \not= 1$，则$\alpha - \beta \sim \alpha_1 - \beta_1$。
(2) 若 $\alpha \sim \alpha_1，\beta \sim \beta_1，$且$\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1} = A \not= -1$，则$\alpha + \beta \sim \alpha_1 + \beta_1$。

第九题：典型的提公因子出去。

第十二题：同第八题错误。

第十五题：熟悉拉格朗日定理：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，那么至少存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f^{\prime}{(\xi)}，$$或者写成$$f(b) - f(a) = f^{\prime}{(\xi)}(b - a)$$

第十七题：

  1. 如果函数连续，则函数值等于极限值。
  2. 若$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(x) - a}{x} = b$，则$f(0) = a$，且$\displaystyle\lim_{x \to 0}f^{\prime}(0) = b$。
    证明：
    因为$f(x)$连续，故函数值等于极限值，于是因为$\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = a$，故$f(0) = a$。
    $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(x) - a}{x} = \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f^{\prime}(x)$

第十八题：极限计算能力有待提高

第十九题：极限计算能力有待提高

[考点3]极限的概念与性质

题目 回答情况
第20题 x √
第21题 x √
第22题 x √

总结

第二十题：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} X_n = A \Longrightarrow \displaystyle\lim_{n \to \infty} |X_n| = |A|$，但是反过来就叭行。

第二十二题：
A)：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} X_n = A \Longleftrightarrow \displaystyle\lim_{n \to \infty} X_{2n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty} X_{2n + 1} = A$。
B)：若$a_n = \begin{cases} 1, & n为偶数 \\ 0, & n为奇数 \end{cases}$，$b_n = \begin{cases} 0, & n为偶数 \\ 1, & n为奇数 \end{cases}$，则$a_nb_n = 0$。
D)：同二十题。

[考点4]数列极限的计算

题目 回答情况
第23题 x √
第24题 x x
第25题 x √
第26题 x √
第27题 x √
第28题 x √
第29题 x √
第30题 x x
第31题 x √
第32题 x √
第33题 x x
第34题(2 ) x x
第35题 x x

总结

第二十三题、第二十四题：技巧题，通过观察各子式的关系，找到可以消除的一种运算方法。

第二十五题：等价无穷小、拉格朗日、二项式定理
二项式定理：$(a+b)^n = a^n + C_{n}^{1}a_{n - 1}b^1 + … + b^n$。

第二十六题、第二十七题：计算出错。

第二十八题：
了解$\sin(x + n\pi) = \pm \sin{x}$。
通过关系变化，化为根式相减，再相消。

第二十九题：在求关于n的极限的时候，其余变量皆视为常数，比如说x,y。

第三十题：和式极限问题，优先考略定积分定义，如果定积分定义失效，在考虑夹逼准则。
如果使用夹逼准则，再夹完逼之后，也许就可以使用定积分定义了^ ^。

第三十一题：计算问题。

第三十二题：求不可导点，可以通过作图，通过图像看是否存在不连续的点。
掌握$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + b^n + c^n} = max(a,b,c)$。

第三十三题：利用周期性与夹逼准则。

第三十四题：
洛必达：求出来的极限只能是无穷大或者一个数。
$1 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$。
对于 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} - \frac{(\frac{1}{n^2})^2}{2} + \frac{2}{n^2} - \frac{(\frac{2}{n^2})^2}{2} + … + \frac{n}{n^2} - \frac{(\frac{n}{n^2})^2}{2}$ 不能因为$\frac{(\frac{1}{n^2})^2}{2}$中的n的次方为4就丢掉，而是要顾全局，将它们通项整合后算出最终答案。

第三十五题：记住不等式$\ln{(1 + x)} \le x$(当x等于0的时候取等于)。

[考点5]函数的连续与间断

题目 回答情况
第36题 √
第37题 √
第38题 √
第39题 x
第40题 x
第41题 x

总结

第三十九题：
遇见$\displaystyle\lim_{n \to \infty}(x^2)^n$这种就需要讨论一下三种情况：

  1. $ 0 < x^2 < 1$
  2. $x^2 = 1$
  3. $x^2 > 1$

第四十题：同三十九题。

漏掉一个可取间断点。

第二章 一元函数微分学

[考点1]导数与微分定义

题目 回答情况
第42题 x x
第43题 √
第44题 x x
第45题 √
第46题 x x
第47题 √
第48题 x

总结

第四十二题：
方法一：观察式子中的含0项，可以提出，然后求导。
方法二：利用导数的定义。

第四十四题：可导 $\Longleftrightarrow$ 左导 = 右导，利用导数的定义。

第四十五题：虽然对了，还是嘴一句。
$\begin{cases} f(x)在x = 0处连续 & \Longrightarrow 极限 = 函数值 \\ f^{\prime}(x)存在 & \Longrightarrow 用导数定义判断 \\ f(x)在x = 0处导函数连续 & \Longrightarrow 求出导函数，再根据连续的性质处理\end{cases}$

第四十六题：
$f(x) = |x - x_0|$在$x_0$处不连续。
但若$g(x)$在$x_0$处连续
$F(x) = g(x)|x - x_0|$
$F(x)$在$x_0$处可导$\Longleftrightarrow g(x_0)$ = 0

第四十八题：利用导数的定义，利用题目给的已知条件求出$f(1)^{\prime}$的关系，再回带入$f(x)^{\prime}$。

[考点2]导数与微分计算

题目 回答情况
第49题 x √
第50题 x x
第51题 x x
第52题 x x
第53题 x x
第54题 √
第55题 x x
第56题 x x
第57题 x
第58题 x x

总结

第四十九题：写几项，然后找规律。

第五十题：二阶导连续，洛必达可求至二阶导。

第五十一题：计算出错。

第五十二题：

  1. 熟悉泰勒公式的展开
  2. 拆项求导找规律

第五十三题：熟悉泰勒公式的展开

第五十五题：
属于分段函数的导数与微分。
于是可以利用导数极限求导数，满足以下场景：

  1. 导数是好求的。
  2. 要求的导数必须连续。
  3. 导函数的极限不能不存在（震荡）。
    $\\$
    同时也利用了已知极限求解未知参数，例$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{b\sqrt{1 + x^2} - 1}{x^2} = 3a$，就能够推出，因为式子属于$\displaystyle\frac{b - 1}{0}$这种极限，且极限的结果为一个常数，故$\displaystyle b = 1$。在考试中这个条件直接写，不用写过程。

第五十六题：根据定义域，可化为分段函数进行讨论（求至二阶导）。

第五十七题：利用导函数定义求解极限。

第五十八题：经验题（鸽鸽好题！）。

[考点3]切线方程与法线方程

题目 回答情况
第59题 √
第60题 √
第61题 x
第62题 √

总结

第六十一题：根据已知条件找出$\displaystyle x_0$的值为多少。

[考点4]导数的几何应用

题目 回答情况
第63题
第64题 √
第65题 √
第66题 √
第67题 x x
第68题 x √
第69题 x √
第70题 √
第71题 x x

总结

第六十七题：计算出错。

第六十八题：考虑条件少了，没有判断$f^{\prime}(x) = 0$时，x的值的条件。

第六十九题：关注不等式$e^{x} - 1 \ge x$(当x = 0时取等)。

第七十一题：
注意$e^{0} \neq 0$(小可爱！)。
求渐近线的时候，考虑$-\infty$和$+\infty$。

[考点5]方程根、函数零点与不等式

题目 回答情况
第72题 √
第73题 x √
第74题 x √
第75题 √
第76题 x x
第77题 x √
第78题 √
第79题 √
第80题 √
第81题 x √
第82题 √
第83题 √
第84题 x

总结

第七十三题：遇见未知函数，多多观察特性，比如奇偶性
，对于奇函数或者偶函数只需要考虑一半，这也有利于去除绝对值。

第七十四题：
关注不等式$a + b \ge 2\sqrt{(a + b)}$。
如何判断积分函数正负?
例：假设在区间$(a,b)$上，并且$f(x) > 0$。
$$F(x_0) = \int^{a}_{b}{f(x_0)dx}$$
此时看两点①积分限②被积函数。若两者的符号相同，积分为正，反之为负。

第七十六题：计算出错。（8.2日 你要喜欢计算，你非常喜欢计算，你爱死它了！！！）

第七十七题：计算出错（tip：使用零点定理）。

第八十一题：
右边：拉格朗日$+$不等式，
左边：含参不等式的基本求解方法。

第八十四题：将$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$转化为$\displaystyle\int_a^x f(t)dt$转化为函数不等式进行处理，移项设函数，求导上单调。

第三章 一元函数积分学

[考点1]不定积分的定义与计算

题目 回答情况
第85题 √
第86题 x x
第87题 x x
第88题 x x
第89题 x x
第90题 x x
第91题 √

总结

第八十六题：进行等价代换后，区间也会随之改变。
在某点连续，左导数=此处的值=右导数。

第八十七题：（1）类似于$I = \displaystyle\int_0^x[f(x)f(u)]du$，对于$I$来说$f(x)$就相当于常数，不要看见$x$就认为是变量，还需要看是对谁积分，这里面就是对$u$进行积分。
（2）要善于寻找初值条件！
（3）若变限函数不是标准型，马上变为标准型！！！通过换元。

第八十八题：
（1）看见积分中有导数应想到分部积分。
（2）若变限函数不是标准型，马上变为标准型！！！通过换元。

第八十九题：
对于
$$\begin{aligned} & \int \frac{1}{\sqrt{1-x}}\arcsin{\sqrt{x}}dx \\ & = \int \arcsin{\sqrt{x}}d(\arcsin{\sqrt{x}}) \\ & = \frac{1}{2}\arcsin^2{\sqrt{x}} \end{aligned}$$
是错的！！！错麻了！！！
因为对于$\arcsin{\sqrt{x}}$来说$\sqrt{x}$是一个符合函数，求导还需要对$\sqrt{x}$进行求导，不信可以试试^ ^。
正确做法，应该将$\frac{1}{\sqrt{1-x}}$塞到积分后面去，再利用分部积分法。

第九十题：注意分段点上左极限=有极限=此处的值。

[考点2]定积分的定义与计算

题目 回答情况
第92题 √
第93题 √
第94题 x √
第95题 x √
第96题 √
第97题 x x
第98题 x
第99题 x x

总结

第九十四题：
注意定积分的性质：（1）周期性、（2）奇偶性。

第九十五题：

  1. 看见对称区间，应想到奇偶性。
  2. 看见不同类的函数，应想到分部积分。

第九十七题：
$$\displaystyle\int_0^{\pi}xf(\sin{x})dx = \frac{\pi}{2}\displaystyle\int_0^{\pi}f(\sin{x})dx$$

第九十八题：对于求极限可以考虑使用夹逼定理。

第九十九题：经验题，如果从条件不好推结论，试试从结论推条件。并且了解$\displaystyle\int_0^1 t^{n-2}dt = \frac{1}{n-1}$和$\displaystyle\int_0^1 t^n dt = \frac{1}{n+1}$。再使用夹逼定理解决问题。

[考点3]定积分的计算

题目 回答情况
第100题 x
第101题 x √
第102题 x √
第103题 x
第104题 x x
第105题 x x
第106题 x x
第107题 x

总结

第一百题：计算出错。

第一百零一题：骗子题，可以根据已知条件求出$f(x)$，再代入$z(x,y)$中，最终求出积分答案。

第一百零二题：
方法一：分部积分。
方法二：$$\displaystyle\int e^{ax}sin{(bx)}dx = \frac{1}{a^2 + b^2}\begin{vmatrix} (e^{ax})^{\prime} & (sinbx)^{\prime} \\ e^{ax} & sinbx \end{vmatrix} + C$$
$$\displaystyle\int e^{ax}cos{(bx)}dx = \frac{1}{a^2 + b^2}\begin{vmatrix} (e^{ax})^{\prime} & (cosbx)^{\prime} \\ e^{ax} & cosbx \end{vmatrix} + C$$

第一百零三题：如果采取微分方程会发现解不出来，应该采用对两边同时取积分，然后求出$\displaystyle\int_0^1 f(x)dx$。

第一百零四题：
变限函数两种方法
（1）分部积分法：被积分函数为变限函数的定积分计算$\Longrightarrow$立即凑到后面去，使用分部积分法、代换。
（2）二次积分：将$f(t)$直接代入求出二次积分。

第一百零五题：
题目中说明了$f(1)$是已知的，那么我们就是设$f(1)=\displaystyle\int_0^1 \frac{\ln{(1+t)}}{1+t^2}dt=A$
然后遇见$\displaystyle\int \frac{x^2}{1 + x^2}dx$可以转化为$\displaystyle\int 1 - \frac{1}{1 + x^2}dx$。

第一百零六题：
（1）二重积分也能使用分部积分法。
（2）题型属于被积分函数为变限函数的定积分计算，只不过被反函数弄得有点摸不着头脑。
[注]：
若$F = f^{-1}(x)$为$y = f(x)$的反函数：
则$\begin{cases} f^{-1}[f(x)] = x \\ f[f(x)^{-1}] = x \end{cases}$
$\\$
如果在考场上可以举一个实际的例子:
假设设$\phi(x)$为$y = f(x)$的反函数
可以设$\phi(x) = \ln{x}$、$f(x) = e^x$：
则$\begin{cases} \phi[f(x)] = ln{e^x} = x \\ f[\phi(x)] = e^{lnx} = x \end{cases}$

第一百零七题：通过已知条件$f(x)=f(x-\pi)+\sin{x}$可以将积分的上下限改变。

[考点4]变限函数

题目 回答情况
第108题 √
第109题 x x
第110题 √
第111题 √
第112题 x x

总结

第一百零九题：记住下列结论。
$\\$
原函数存在性
(1)若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上原函数一定存在；
(2)若$f(x)$在$[a,b]$上有定义，且存在第一类或无穷间断点，则在$[a,b]$上原函数一定不存在；
(3) 若$f(x)$在$[a,b]$上存在震荡间断点，此时原函数有可能存在。
$\\$
定积分存在性 (可积性)
(1)若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$一定存在；
(2)若f(x)在[a,b]上有界，且存在有限个第一类间断点，则$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$也存在。
$\\$
变上限函数性质
已知$F(x) = \displaystyle\int_a^xf(t)dt$在$[a,b]$上，$x_0$之外均连续，则
(1)若$f(x)$在$x_0$连续，则$F(x)$在$x_0$可导，且$F^{\prime}(x_0) = f(x_0)$;
(2)若$f(x)$在$x_0$有第一类间断点，其余处均连续，则$F(x)$在$x_0$连续，且

第一百一十二题：
综合难度很大，需要考虑
(1) 若函数在某点连续，则该点值等于该点的极限值。
(2) 注意定义域。
(3) 洛必达只能洛到连续的那一阶。

[考点5]反常积分

题目 回答情况
第113题 x x
第114题 √
第115题 √
第116题 x √
第117题 √
第118题 x x

总结

第一百一十三题：
熟悉积分：
$$\begin{aligned}\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx&=\arcsin{\frac{x}{a}}+c \\ \displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx&=\ln{|x+\sqrt{x^2-a^2}|}+c \\ \displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx&=\ln{(x+\sqrt{x^2+a^2})}+c\end{aligned}$$

第一百一十四题：反常积分的好题！！！

第一百一十六题：
（1）找瑕点，然后利用可加性从瑕点分开，进而判断两部分是否收敛。
（2）反常积分判断敛散性的方法

$\$
[考]
a.P积分
$(1) \displaystyle\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^P}dx = \begin{cases} 收敛，P>1 \\ 发散，P\le1 \end{cases} (a>0)$
$(2) \displaystyle\int_{0}^{a} \frac{1}{x^P}dx = \begin{cases} 收敛，P<1 \\ 发散，P\ge1 \end{cases} (a>0)$
b.对于$\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)dx \begin{cases} 存在 P<1，使得\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^P\ln{x}=0 \Longrightarrow 收敛 \\ 存在 P\ge1，使得\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^P\ln{x}=+\infty \Longrightarrow 发散 \end{cases}$

第一百一十八题：计算出错。

[考点6]定积分的应用

题目 回答情况
第119题 √
第120题 √
第121题 √
第122题 x x
第123题 x x
第124题 x x

总结

第一百二十二题：含有变限函数的等式问题，可以求导换微分方程处理。

公式记忆不熟悉。

第四章 常微分方程

[考点1]线性微分方程的解得问题

题目 回答情况
第125题 √
第126题 √
第127题 √

总结

[考点2]微分方程综合题

题目 回答情况
第128题 √
第129题 √
第130题 x x
第131题 x x
第132题 x x
第133题 x x
第134题 x x

总结

第一百三十题：题目描述了$F(0)=0$，就是提醒构造出$F(x)$的函数，再求导得到$f(x)$。
关于一下积分求导的问题：
(1)$[\displaystyle\int_0^{x^2} f(t)dt]^{\prime} = 2xf(x^2)$
(2)$[\displaystyle\int_0^{x^2} f(t^2)dt]^{\prime} = 2xf(x^4)$
(3)$[\displaystyle\int_0^{x^2} f(2t)dt]^{\prime} = 2xf(2x^2)$

第一百三十一题：极坐标的二重积分不过关，看见$x^2+y^2$，就要想到极坐标方程。

第一百三十三题：计算出错+微分方程不过关。

第一百三十四题：微分方程不过关（二阶降阶）。

第五章 中值定理

中值定理的综合应用

题目 回答情况
第135题 x
第136题 x
第137题 x
第138题 x
第139题 x
第140题 x
第141题 x
第142题 x

总结

第一百三十五题：移项，设出函数$f(\psi)$，再进行放缩，利用介值+最值即可证明。

第一百三十六题：构造函数，利用罗尔定理求的$F(\psi)^{\prime} = 0$。

第一百三十七题：构造函数，利用罗尔定理求的$F(\psi)^{\prime} = 0$。

第一百三十八题：罗尔定理的推广形式。

第一百三十九题：构造函数，利用罗尔定理求的$F(\psi)^{\prime} = 0$。注意$\displaystyle\frac{1}{2}(b^2-a^2)=\displaystyle\int_a^b x dx$。

第一百四十题：双中值问题，考虑拉拉，柯拉，柯柯。
一般需要移项才能看出，如果遇见$f(x)^{\prime}$，一般考虑拉；遇见$\displaystyle\frac{f(x)^{\prime}}{g(x)^{\prime}}$一般考虑柯。

第一百四十一题：

第一百四十二题：泰勒定理。一般遇见不等式都选用带拉格朗日余项的泰勒公式。

第六章 多元函数微分学

[考点1]基本概念相关考题

题目 回答情况
第143题 x
第144题 x
第145题 x

总结

后续在重做一遍

[考点2]偏导数与全微分的计算

题目 回答情况
第146题 √
第147题 x
第148题 √
第149题 x
第150题 x
第151题 √
第152题 x
第153题
第154题 x
第155题 x
第156题
第157题 x

总结

第一百四十七题：计算出错。

第一百五十二题：告诉$y=f(x,t)$、$F(x,y,t)=0$，也就是告诉你$F(x,y,t)$是一元函数，因为$t,y$都可以用$x$进行表示。

第一百五十四题：计算出错。

第一百五十五题：按照题目给定的条件，求出相关的值往里面带即可（就是计算稍微大了点，paper_tiger！）

第一百五十七题：隐函数求值问题。只需令$Z=g(u,v)\Longrightarrow f(x-2 \sqrt{x},x+2 \sqrt{y})$，然后对$Z$求$x,y$的偏导数，通过$u,v$两个中间变量作为桥梁进行求解。

[考点3]多元函数的极值与最值

题目 回答情况
第158题 x
第159题 x
第160题 √
第161题 x
第162题 x
第163题 x
第164题 x
第165题 √
第166题 x

总结

第一百五十八题：一般来说一个函数的极值从这两个方面进行考虑$\begin{cases} ①驻点 \\ ②导数不\exist \end{cases}$，但是此题说明了可微函数，因此只能考虑驻点的情况。因此推出$\begin{cases} f_x^{\prime}(x_0+y_0)=0 \\ f_y^{\prime}(x_0+y_0)=0 \end{cases}$。

第一百五十九题：多元函数极小值$\Longrightarrow \begin{cases} B^2 - AC < 0 \\ A > 0 \end{cases}$

第一百六十一题：按照常规求极值的方法求出拐点，然后代入$A,B,C$分类讨论得出结论。

第一百六十二题：二元隐函数求无条件极值问题。

第一百六十三题：如果观察出两个式子具有对称性，根不一定$x=y$，这种想法可能会漏根。（一般式子两项作差或者作和）。

第一百六十四题：给条件极值问题，题目求$z$距离$xoy$面的距离最大值最小值的点，由于$z$可能存在符号，于是我们用$z^2$来代替$z$到$xoy$面的距离，另外题目中的两个条件，就是$z^2$的限制条件。

第一百六十六题：计算出错。

第七章 二重积分

[考点1]二重积分的定义与性质

题目 回答情况
第167题 x
第168题 √
第169题 √
第170题 x
第171题 √
第172题 √

总结

第一百六十七题：计算出错，（题目本质就是定积分的概念）。

第一百七十题：计算出错。

[考点2]二重积分的计算

题目 回答情况
第173题 √
第174题 x
第175题 √
第176题 x
第177题 x
第178题 √
第179题 x
第180题 √
第181题 x

总结

第一百七十三题：考察轮换对称性。

第一百七十四题：经验题叭。

第一百七十六题：题目看错，大致思路没问题，想想偏移图像（例如圆、椭圆）这种具有很好的对称性的图像，它们的圆心位置不在$(0,0)$点，移动到$(a,b)$点，此时有三种方法可以解决（书149页）。

第一百七十七题：二重积分区域画的不明不白。

第一百七十九题：二重积分区域画的不明不白。

第一百八十一题：考察了同一百七十六题的相关特性，而此题使用行心公式法更为简便。

[考点1]二次积分的积分次序调换问题

题目 回答情况
第182题 √
第183题 √
第184题 x
第185题 x
第186题 x
第187题 x

总结

第一百八十四题：积分区域划分出错。

第一百八十五题：定积分计算出错。

第一百八十六题：观察，使用$X$形二重积分。

第一百八十七题：掌握这样的一种手法。
$$\begin{aligned}b^2-a^2 &= x^2|_a^b \\ &= \int_a^b 2xdx\end{aligned}$$
然后再转化为二重积分进行处理。