数学真题
2013
第四题：忘记反常积分条件
第十题：利用原函数$y=f(x)$的导数$\frac{dy}{dx}$和其反函数$x=f^{-1}(y)$的倒数关系：$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$。同时考察了$y=0$处导数值，要找出对应的$x$的值。
第十一题：忘记极坐标的面积方程了：$S=\displaystyle\int_{\theta _1}^{\theta _2}\frac{1}{2}r^{2}(\theta)d\theta$
第十三题：二阶非齐次线性方程的解得结构为：其次方程的通解+非齐次方程的特解。
线性微分方程反问题至高水准：要解非齐次必先求齐次方程，要想解方程比先求通解。
第十六题：定积分面积公式有问题。
第十七题：计算出错。
第十八题：
考察微分等式的证明，要熟知费马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理等等。
还考察了构造函数。
【注】
- 证明$f^{\prime}(\epsilon)=0$
思路：$\begin{cases} （1）用导数零点定理 \\ （2）用费马定理 \\ （3）用罗尔定理 \end{cases}$- 证明$f^{\prime \prime}(\epsilon)=0$
思路：$\begin{cases} （1）对f^{\prime}使用罗尔定理，通常是对f(x) 用两次罗尔定理 \\ （2）是否可以考虑拐点处二阶导数为0 \\ （3）用泰勒公式得出：\frac{1}{2}f^{\prime \prime}(\epsilon)(x-x_0)^2=0，且x\not x_0 \end{cases}$- 证明$f(\epsilon)=0$
思路：$\begin{cases} （1）零点定理 \\ （2）证明f(x)在区间[a,b]上不恒大于零，也不恒小于零 \\ （3）对f(x)的原函数使用罗尔定理 \end{cases}$- 证明$f^{\prime}(\epsilon)\equiv 0$
第十九题：拉格朗日乘除法。
第二十一题：
- 弧长公式、形心公式。
2014
第二题：渐近线相关公式。
第三题：比较函数大小，一般将其全部移到一边，然后构造新的函数。口诀：移项设函数，求导上单调。
第四题：曲率半径:$R=\frac{1}{k}$，曲率$k=\frac{|y^{\prime \prime}|}{(1+y^{\prime})^{\frac{3}{2}}}$
第六题：多元微分学、多元微分学极值，最值。
第七题："X"型行列式。
第九题：积分表不过关。
第十一题：求二元隐函数的偏导、全微分。
第十二题：
极坐标方程不过关。
$r=\theta \Longrightarrow \begin{cases} x=r\cos{\theta}=\theta\cos{\theta} \\ y=r\sin{\theta}=\theta\sin{\theta} \end{cases}$
第十六题：微分方程的反问题。
第十七题：计算时候，三角函数的定积分不熟练。
第十八题：微分方程的反问题。
第二十一题：求偏导数的反问题+旋转体体积问题。
2015
第一题：计算反常积分。
第二题：判断间断点，先将$f(x)$的表达式求出。
第五题：抽象复合函数求偏导，先将$f(u,v)$的表达式求出，然后分别求出$f(u,1),f(1,v)$，即采用先代后求的方法来求解，会快一点。
第七题：非齐次方程组$Ax=b$有无穷多解$\Longleftrightarrow r(A)=r(A,b)<n$。
第九题：计算出错。
第十题：泰勒展开，泰勒公式。
注$2^x=e^{x\ln{2}}$，按照$e^x$的泰勒公式进行展开。
第十二题：$f(0)=3、f^{\prime}(0)=0$。
第十七题：最后计算出错。
顺便记一下二次函数极值判别法：
$A=\frac{\partial^{2}f}{\partial^{2}x},B=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y},C=\frac{\partial^{2}f}{\partial^{2}y}$
则$\begin{cases} B^2-AC>0，不存在 \\ B^2-AC<0,且A<0，极大值 \\ B^2-AC<0,且A>0，极小值 \\ B^2-AC=0，未知要用定义，看附近的点与该点的大小关系 \end{cases}$
第十八题：二重积分的奇偶性。
第十九题：零点个数问题，单调性，零点定理。
2016
第三题：遇见分式可以想到倒代换。
第六题：计算出错。
第七题：若$A,B$相似，则存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$。
第九题：渐近线不过关，公式记不熟。
第十二题：计算出错。
第十三题：物理应用。
第十六题：分段设函数，求导上单调
第十七题：对式子进行求$x、y$的偏导，可以求出$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial ^2z}{\partial x^2},\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}$。
第十八题：二重积分区域变为极坐标。
第十九题：微分方程的反问题。
第二十题：旋转体体积和表面积公式。
第二十一题：
第二十三题：
2017
第四题：微分方程公式。
第六题：面积之差代表甲、乙在这段时间内的路径之差。
第八题：相似对角化。
第十四题：特征值的概念。
第十六题：求导时出错。
第十八题：
注意区分$f(x,y)$与$f(x)$的极值关系。
$f(x,y)$：二元函数无条件极值。
$f(x)$：隐函数极值的求解。
第十九题：零点定理、罗尔定理。
第二十题：注意二重积分有轮换对称性这一特点。
第二十一题：微分方程的反问题。
2018（hard）
第五题：由于积分区域相同，所以可以通过比较三个被积分函数的大小来判断三个值的大小，由于第一个积分可以直接积分出来（积分的奇偶性），再将第一个和第二个、第三个进行比较大小。
第六题：二重积分的对称性。
第七题：
判断两个矩阵是否相似的问题，一般按照以下步骤进行：
（1）根据矩阵相似的必要条件：即等秩、等迹、等行列式、等特征值进行排除。
（2）若根据（1）不能排除，则考虑两个矩阵是否相似于同一个对角矩阵，若是，则相似，否则不相似。
（3）若是（1）和（2）均行不通，则考虑$A+kE$与$B+kE$是否相似，因为$A\sim B$等价于$A+kE\sim B+kE$。
第八题：从线性表出发：关于$AB=C$，我们要条件反射做出以下解读：$C$的列向量可以由$A$的列向量线性表出，$C$的行向量可以由$B$的行向量线性表出。
第十二题：切线方程还是记不熟悉！
第十五题：链式求导法则忘记！
第十六题：还原处理的时候出错！
第十七题：摆线记不清楚！
第十八题：研究函数特性。
第十九题：有条件极值问题，拉格朗日乘除法。
第二十题：
第二十一题：
第二十二题：
地二十三题：
2019
第五题：
被积分区域相同，比较被积函数的大小，题目中为二元，故可先化为一元再进行大小的比较，设$t=\sqrt{x^2+y^2}$。
第六题：
考：
若$y=f(x)$与$y=g(x)$在$x=a$相切，且曲率相等$\Longrightarrow f(a)=g(a)、f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)、|f^{\prime \prime}(a)|=|g^{\prime \prime}(a)|$
若$y=f(x)$与$y=g(x)$在$x=a$相切，且曲率圆相等$\Longrightarrow f(a)=g(a)、f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)、f^{\prime \prime}(a)=g^{\prime \prime}(a)$
充分必要性
- 若$A\longrightarrow B$
则$A$是$B$的充分条件
则$B$是$A$的必要条件- 若$A\longrightarrow B、B\not\longrightarrow A$
$A$是$B$的充分不必要条件，$B$是$A$的必要不充分条件
第十六题：
若遇见$\displaystyle\frac{1}{(x-1)(x+1)^2(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}+\frac{Ex+F}{x^2+x+1}$这样拆分，待定系数法，解出所有未知字母。
第十八题：
二重积分的奇偶性、极坐标方程。
第十九题：
由于是求与$x$轴所围成的面积，故将区间分为$[0,\pi],[\pi,2\pi],…,[(n-1)\pi,n\pi]$进行积分。
注：$$\displaystyle\int e^{ax}sin{(bx)}dx = \frac{1}{a^2 + b^2}\begin{vmatrix} (e^{ax})^{\prime} & (sinbx)^{\prime} \\ e^{ax} & sinbx \end{vmatrix} + C$$
$$\displaystyle\int e^{ax}cos{(bx)}dx = \frac{1}{a^2 + b^2}\begin{vmatrix} (e^{ax})^{\prime} & (cosbx)^{\prime} \\ e^{ax} & cosbx \end{vmatrix} + C$$
第二十题：
硬干！$u(x,y)=v(x,y)e^{ax+by}\Longrightarrow u=ve^{ax+by}$，对$u$求复合函数的导数，代入题目中，使得一阶偏导为$0$，解出$a,b$。
第二十一题：
构造函数$F(x)=f(x)+x^2$，使得$F^{\prime \prime}(x)<0$，使用三次拉格朗日中值定理。
看图，憋说话。
第二十二题：
向量组$I$与向量组$II$可以相互线性表示$\Longrightarrow I$与$II$等价$\Longrightarrow$三秩相等，反过来却不行。
将$\beta_3$用$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示$\Longrightarrow Ax=\beta_3$，解这样一个非齐次线性方程组。
