鸽2

第一套

第一题：
可导一定连续$\Longrightarrow$连续一定存在极限值等于函数值$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
step1：先求驻点
step2：再判断驻点的情况（二阶导）

第二题：
特征值对应的不同情况

观察题目条件判断特征值的类型，从而反解出特征值，进而求得微分方程。

第三题：
将数列$\sqrt[n]{n}$具体化为$\sqrt[x]{x}$，通过研究$\sqrt[x]{x}$的性质，从而进行大小的比较。

第四题：
定积分的几何图像进行判断。

第五题：
寻找瑕点进行判断
【考】大的喜欢大的，大的收敛；小的喜欢小的，小的收敛。

第六题：
考察隐函数存在定理：
$F(x,y,z)三元方程\Longrightarrow $若$F_{z}^{\prime} \not= 0$，则存在一个连续偏导的函数$Z=Z(x,y)$，使得$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{z}^{\prime}}，\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}^{\prime}}{F_{z}^{\prime}}$
$F(x,y,z)三元方程\Longrightarrow $若$F_{x}^{\prime} \not= 0$，则存在一个连续偏导的函数$X=X(y,z)$，使得$\displaystyle \frac{\partial x}{\partial y}=-\frac{F_{y}^{\prime}}{F_{x}^{\prime}}，\frac{\partial x}{\partial z}=-\frac{F_{z}^{\prime}}{F_{x}^{\prime}}$
$F(x,y,z)三元方程\Longrightarrow $若$F_{y}^{\prime} \not= 0$，则存在一个连续偏导的函数$Y=Y(x,z)$，使得$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{y}^{\prime}}，\frac{\partial y}{\partial z}=-\frac{F_{z}^{\prime}}{F_{y}^{\prime}}$

第七题：
涉及到反函数平移的问题


第八题：
从特征值的角度求秩
注意：只有可以相似对角化的矩阵，秩才等于非$0$的特征值个数。

第九题：
若$A_{n\times m}$的列向量为齐次线性方程组$Cx=0$的一个基础解系。
若另一个向量组$B$也是$Cx=0$一个基础解系，那么满足：

  1. $B$的列向量个数为$m$。
  2. $CB=0$。
  3. $B$的列向量之间都线性无关。

第十题：
存在$f=x^{T}Ax$，若存在$y=Cx$，其中$C$可逆的话，则经过$y=Cx$变化后的二次型，它们的正负惯性指数相同。
此时就是寻找一个与$A$合同的矩阵$B$，通过研究$B$的特征值，从而判断$A$的特征值。

第十一题：
$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})$
$\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}f(\frac{k}{n})$

第十二题：

第十三题：
参数方程求$y^{\prime \prime}(x)<0$的取值范围。

第十四题：
复合函数求偏导+参数方程

第十五题：
对等式化简后，再求导，确定$x$的取值范围，再代入弧长公式：$s=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f^{\prime}(x))^{2}}dx$

第十六题：
将等式转化为线性代数的语言。

第十七题：
渐近线常规题。

第十八题：
通过式子积分可以的到$a、b$的关系，通过求区域面积得到一个关于$a、b$的函数，要求这个函数的极值，再加上有 约数条件$\Longrightarrow$拉格朗日乘除法。
注意：求极值的时候还需要注意约束条件的端点值。

第十九题：
二重积分的奇偶性、轮换对称性。

第二十题：

第二十一题：
题目中$f(a)=f(b)=0$，提示可以使用两次拉格朗日进行求解。
拉格朗日：
若$a\le x\le b$

  1. $f(x)=f(a)+f^{\prime}(\varphi_1)(x-a)，a\le \varphi \le x$
  2. $f(x)=f(b)+f^{\prime}(\varphi_2)(x-b)，x\le \varphi \le b$

第二十二题：
第一问：
$tr(A)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$
$|A|=\lambda1 \lambda_2 \lambda_3$
注：此题求出的$b$有两个答案，一个是$0$，一个是$1$。
但是$0$这个答案会被舍去，若$b=0$时，$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$，用二重特征值$r=1$进行检验，本来应该满足存在$n$重特征值个数的正交的特征向量（基础解系），也就是$2$个，然而$A-E=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$，$r(A-E)=3$不满足题意。
第二问：$\begin{cases} P^{-1}AP=B \\ A=PBP^{-1} \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} B^{n}=P^{-1}A^{n}P \\ A^{n}=PB^{n}P^{-1} \end{cases}$
故由一知：
$P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 4 \end{bmatrix}$，$A=P\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 4 \end{bmatrix}P^{-1}$
$B^2=P\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 2 \end{bmatrix}^2P^{-1}=P\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 2 \end{bmatrix}P^{-1}P\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 2 \end{bmatrix}P^{-1}$
$B^2=\left(P\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 2 \end{bmatrix}P^{-1}\right)^2$
$B=P\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 2 \end{bmatrix}P^{-1}$

第二套

第一题：
将$f(x)=\ln{(1+x)}\frac{1}{1+x}$进行展开：

  1. $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+…+x^n+o(x^n)$
  2. $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+…+(-1)^{n}x^n+o(x^n)$
  3. $\ln{(1+x)}=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+…$

第二题：
将$n$具体化为$x$，研究$f(x)=(x+3)^{\frac{1}{x+3}}$的特性。

第三题：
若取极值$\Longrightarrow f^{\prime}(x)=0$
若取拐点$\Longrightarrow f^{\prime}(x)$左右两端单调性不同。

第四题：
非标准型改标准型，再求导与已知条件联立解出$f(x-1)$，代入条件中得到答案为$-\frac{9}{2}$。

第五题：
掌握多元函数偏导的计算。

第六题：

  1. 线密度$\rho\Rightarrow m=\rho L$
  2. $F_{引}=\frac{km_1m_2}{r^2}$

第七题：
由已知条件$[x+y]$可以将区域分为$4$段，每一段对于一个数字，而这一段对应的二重积分就是数字乘区域面积。由几何意义就可以得二重积分大小为$3$倍下三角形的面积。

第八题：

  1. $AB\Longrightarrow \begin{cases} AB列 可以由A列表出 \\ AB行可以由B行表出 \end{cases}$
  2. 若$P$列满秩，则$r(PA)=r(A)$
    若$P$行满秩，则$r(AP)=r(A)$
  3. 向量组等价$\Longleftrightarrow$三秩相等
    $r(A)=r(B)=r(A,B)\Longleftrightarrow A$与$B$列等价
    $r(A)=r(B)=r\left(\begin{aligned} A \\ B \end{aligned}\right)\Longleftrightarrow A$与$B$行等价

第九题：

  1. 若$A、B$等价，则同型，$r(A)=r(B)$。
  2. 若$A、B$相似，则$A\sim \wedge_A，B\sim \wedge_B，\wedge_A=\wedge_B$。
  3. 若$A、B$合同，实对称矩阵，正负惯性指数相同。

第十题：
$A、A^{*}$特征值不同，但是特征向量相同

第十一题：
垂直渐近线只要有一边为无穷大就是垂直渐近线。
例：$\displaystyle\lim_{x\to 0}e^{\frac{1}{x}}$存在一条垂直渐近线$x=0$。

第十二题：常规题。

第十三题：
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}x^m\ln{(1+\frac{1}{x})}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x^m\frac{1}{x}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x^{m-1}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x^{1-m}}$
大的喜欢大的$\Longrightarrow 1-m>1\Longrightarrow m<0$
注：比较审敛法

第十四题：
对于绿色框中的部分，由于外层积分变量为$t$，上下限是$x$，绿色框中不含有变量$x$，故里面为标准型，直接上下求导，对于绿色框中遇见$t$就化为$x$。

二次积分求极限：

  1. 考点一：标准型
  2. 考点二：非标准型（调换积分次序）
  3. 考点三：二重积分中值定理

第十五题：

第十六题：

  1. $|A-\lambda E|=0\Longrightarrow \lambda$为$A$的一个特征值。
  2. 矩阵$A$的行元素之和为$\lambda$，则$\lambda$为$A$的一个特征值。
  3. $(A_n-\lambda E)x=0$有非零解$\Longrightarrow r(A_n-\lambda E)<n\Longrightarrow |A-\lambda E|=0$
  5. $tr(A)=\lambda_1+\lambda_2+…+\lambda_n$

第十七题：常规题。

第十八题：常规题。

第十九题：

第二十题：单调有界必有极限
三部曲：

  1. 有界性，数学归纳法
  2. 单调性，作差，作除
  3. 求极限，去极限，求极限

第二十一题：

第二十二题：常规题。

李6

第一套

第一题：
比较大小即可，注：$x\to +\infty，\ln^{b}x << x^{a} << e^{cx}$，指幂对。

第二题：
方法一：设$F(x)=x^{a}-\ln{x}$，研究函数特性，但是发现求导不好求，于是可以不等式两边进行取对数，$\ln\ln{x}\le a\ln{x} \Longrightarrow a\ge \frac{\ln\ln{x}}{\ln{x}}$，求$\frac{\ln\ln{x}}{\ln{x}}$的最大值即可，
方法二：特值法：通过代入$a=\frac{1}{2}，a=1,a=+\infty$等特值进行检验。

第三题：
注：设$a_i \ge 0$，则$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{a_1^{n}+a_2^{n}+…+a_n^{n}}=max{a_1,a_2,…,a_n}$。
将$f(x)$视为分段函数。
若$f(x)$连续$\Longrightarrow F(x)$可导。

第四题：
考察了定积分，积分上下限相同的比较定理。
遇见$\sin{x},\cos{x}$想到区间$\displaystyle[0,\frac{\pi}{4}],[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$进行大小的比较。

第五题：
回顾泰勒公式的两种展开形式：

方法一：
带有拉格朗日型的泰勒展开，令$F(x)=\displaystyle\int_{-1}^{x}f(t)dt$，将其在$x=0$处泰勒展开展开，再代入$x=1,x=-1$两个点联立求得$f(0)$的情况。
方法二：
图像法：参考18年数二的选择题。
当$f^{\prime \prime}(x)>0\Longrightarrow f^{\prime}(x)$单增，随着$f^{\prime}(x)$的增加，$f(x)$的增长速度也加快$\Longrightarrow [0,1]$比$[-1,0]$增长速度快得多，于是后半段只需要较小的长度就能和前面的一段面积一样大。

第六题：
根据二元函数无条件极值，若要取极大值，则$B^2-AC<0，A<0$。
注：当$B^2-AC=0$时，不能判断极值条件，此时需要查看附近的点的情况。面对此题，可以采用特值法，找$f(x)=-x^2-y^2，f(x)=-x^4-y^4$代入进行判断当$B^2-AC=0$的情况。

第七题：
取分段点，分别判断两个积分的极值，注：大的喜欢大的，小的喜欢小的。

第八题：
（1）正交矩阵$A$的行列式$|A|=\pm 1$。
（2）
（3）

第九题：
方法一：
（1）若取$Q=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，会发现$Q$是一个正交矩阵
（2）由相似对角化的知识，可以得知$A$可以由$Q、\wedge$表示
（3）
通过判断$A == ? A^{T}$进行判断。
方法二：特值法
取$A=0$

第十题：
三个点共线的条件为，三个点两两连线的斜率相同。
$\displaystyle k=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，于是可以将矩阵$A$进行初等行变换化简。

第十一题：
方法一：
极坐标进行处理，注：遇见$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d(\theta)\int_{0}^{t}f(\rho)d\rho$，后面的积分没有$\theta$这个值，于是就可以等于$\displaystyle\frac{\pi}{2}\int_{0}^{t}f(\rho)d\rho$
方法二：
二重积分中值定理：
设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$\sigma$为$D$的面积，则$\exist (\varphi,\zeta)\in D$，使得$\displaystyle\iint_{D}f(x,y)d\sigma=f(\varphi,\zeta)\sigma$。

第十二题：
先求出$f(x)$为分段函数，画出图像，再代入$f(x-1)$。

第十三题：
$\begin{cases} x=r\cos{\theta} \\ y=r\sin{\theta} \end{cases}$，将其转化为$x,y$关于$\theta$参数方程。
求斜渐近线时：$a=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{y}{x}$，$b=\displaystyle\lim_{x\to \infty}y-ax$。

第十四题：
对方程组$\begin{cases} x=… \\ y=… \end{cases}$求关于$x$的偏导数，注：$z、t$是关于$(x,y)$的函数，$y$不关于$x$的函数，也就是说$\displaystyle\frac{\partial y}{\partial x}=0$。
求完偏导后，对两个等式进行联立，解出$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}$。

第十五题：
先画出大致的草图，对$y$进行求导，研究函数特性。
$\displaystyle \int \frac{1}{1+nx^2}dx=\int \frac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+(\sqrt{n}x)^2}d\sqrt{n}x=\frac{1}{\sqrt{n}}\int \frac{1}{1+(\sqrt{n}x)^2}d\sqrt{n}x=\frac{1}{\sqrt{n}}\arctan{\sqrt{n}x}+C$

第十六题：

第十七题：
减法中不能用等价无穷小！！！
利用泰勒公式进行替换。

第十八题：
二重积分转极坐标方程，要敢于计算。
譬如此题：遇见$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\frac{\cos{\theta}}{\cos{\theta}+\sin{\theta}} \frac{d\theta}{(\cos{\theta}+\sin{\theta})^2}}$，将$\frac{1}{(\cos{\theta}+\sin{\theta})^2}$凑到$d$中去，就会发现$\left(\frac{\cos{\theta}}{\cos{\theta}+\sin{\theta}}\right)^{\prime}=\frac{1}{(\cos{\theta}+\sin{\theta})^2}$

第十九题：
（1）$df(x,y)=f_{x}^{\prime}dx+f_{y}^{\prime}dy$
再利用已知条件进行化简。
（2）有条件极值问题，拉格朗日乘除法。注：计算点到区间的距离可以不加根号，方便计算。

第二十一题：
遇见不好求解的微分方程，比如含有根号的微分方程，如果可以求导，那么求导化简后，与原来未求导的方程进行比较，看看是否能消除。

第二十一题：

第二十二题：

第二套

第一题：常规题。

第二题：

!

第三题：看见高阶导数求积分可以联想到分部积分，将高阶导数凑到后面进行化简。

第四题：

第五题：将其拆成两部分，分别包含瑕点，分别对这两个积分化为$P$积分，再"大的喜欢大的，小的喜欢小的"

第六题：$u(x,y)=u_{x}(x,y)dx+u_{y}(x,y)dy$，通过求积分可以得到两个$u(x,y)$的函数，利用待定系数法即可求出$a,b$。

第七题：几何图像画出来，过原点，关于$y$轴对称，在$x$轴的上方。

第八题：范德蒙行列式。

第九题：
$A^2=0\Longrightarrow r(A)+r(A)\le 3\Longrightarrow r(A)\le 1$
$A$是非零矩阵$\Longrightarrow r(A)\ge 1$
.
假设$A_{m\times n}$
则齐次线性方程组最多有$s=n-r(A)$个线性无关的解向量。（注：$n$是指列数，也就是未知数个数）。
则非齐次线性方程组最多有$s+1=n-r(A)+1$个线性无关的解向量。

第十题：由惯性定理可知：它们的正负惯性指数相同。求出$A$的特征值即可。

第十一题：常规题。

第十二题：非标准型转标准型进行求导。

第十三题：求积分有区域一定要将大致区域画出，此题

第十四题：二重积分调换积分次序+三角函数的计算（要敢算！）
妙手！
$\displaystyle\int\frac{1}{\sin^{\frac{2}{3}}x\cos^{\frac{4}{3}}x}dx=\displaystyle\int\frac{\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}}{\sin^{\frac{2}{3}}{x}\cos^{\frac{4}{3}}{x}}dx$
由于下面的次方数相加为$2$，故采取化$1$为三角函数，再相除$\cos{x}$为$\tan{x}$。
$\displaystyle\int 1+\tan^2{x} dx = \displaystyle\int \frac{1}{\cos^2{x}} dx = \displaystyle\int \sec^2{x} = \tan{x} + C$

第十五题：

旋转曲面表面积：

  1. 直角方程：$S=\displaystyle\int_{a}^{b}2\pi |y|\sqrt{1+(y^{\prime})^2}dx$
  2. 参数方程：$S=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}2\pi |r\sin{\theta}|\sqrt{r^2(\theta)+r^{\prime}(\theta)^2}d\theta$

第十六题：
假设$A_{m\times n}$
则齐次线性方程组最多有$s=n-r(A)$个线性无关的解向量。（注：$n$是指列数，也就是未知数个数）。
则非齐次线性方程组最多有$s+1=n-r(A)+1$个线性无关的解向量。
.
若$\eta_i+\eta_j+\eta_k$是$Ax=\beta$的解
则$\eta_i-\eta_j$是$Ax=0$的解
$\frac{\eta_i+\eta_j+\eta_k}{3}$是$Ax=\beta$的解
$\frac{\eta_i+\eta_j}{2}$是$Ax=\beta$的解
.
若$\alpha_1,\alpha_2$是$Ax=b$的解，则：
$A(\alpha_1+2\alpha_2)=A\alpha_1+2A\alpha_2=b+2b=3b\Longrightarrow A\frac{\alpha_1+2\alpha_2}{3}=b$
也就是说$\frac{\alpha_1+2\alpha_2}{3}$也是$Ax=b的解$

第十七题：
注意$f(x)关于x单增，关于t单减$

第十八题：
遇见$\sqrt{1-e^2}、\sqrt{1-x^2}$可考虑三角代换，令$e^x/x=\cos{t}$。

第十九题：
链式求导法则：$f\begin{cases} u —— x \\ v \begin{cases} x \\ y \end{cases} \end{cases}$
对$f$求$x$的偏导，代入已知条件：$\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}，u=x,v=x+y$，即可得到答案。
第二问，由第一问可求的$f(x,x+y)$，再进行转化为$f(u,v)$，就变为多元无条件极值问题。

第二十题：
方法一：二重积分中值定理。
方法二：
对于分子，看见高阶导数求积分可以联想到分部积分，将高阶导数凑到后面进行化简。
对于分母，化非标准型为标准型，再调换积分次序。可以将二重积分化为一重积分，再对分式上下求导可得。

第二十一题：

第二十二题：
若$A、B$相似，则$A\sim \wedge_A，B\sim \wedge_B，\wedge_A=\wedge_B$。
但是此题不能相似对角化，于是想到定义，若$A、B$相似，则存在一个矩阵$P$，使得$A=P^{-1}BP$，于是可以将$P$设出，$P=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}$，代入$A=P^{-1}BP$，找到一个满足条件的矩阵即可。

第三套

第一题：
由条件一可知$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=2\Longrightarrow$，可令$f(x)=2x$取特值解。

第二题：
找到无定义点，求极限判定。
注意：$x\to 0^{+}$时，有$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x^{\alpha}\ln{x}=0(\alpha>0)$

第三题：
移项设函数，研究函数特性。

第四题：
$y^{\prime}+p(x)y=0$的解为$y=C\rho(x)$，其中$\rho(x)$为方程的一个非0解。

第五题：
设$x=\frac{1}{n}$
方法一：参考泰勒公式：$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+…$
方法二：直接泰勒展开$f(x)=f(0)+f^{\prime}(x)x+\frac{f^{\prime \prime}(x)}{2}x^2+O(x^2)$，求$f^{\prime}(x)、\frac{f^{\prime \prime}(x)}{2}$

第六题：

第七题：

第八题：
取特值，$A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$

第九题：
$\beta$不能由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示。
$\gamma$能由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示。
A、B：取$\lambda=0/1$即可验证
C、D：取$\lambda=0/1$即可验证

第十题：
二次型化规范性：1.配方法，2.正交变化法。
此题采用配方法，将二次型化为$y=Px$的一种关系，再将$P$反解出来就是答案。

第十一题：
隐函数求极值。

第十二题：
硬算。

第十三题：
多元函数求极值问题。

第十四题：
确定$x$的范围后，将积分解出来，代入曲线长度公式$\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f^{\prime }(x)]^2}dx$

第十五题：嘻嘻~

第十六题：
属于$A^{-1}$的特征向量$\alpha$也是$A$的特征向量。
$A\alpha=\lambda \alpha$，解出$\lambda、k$即可。

第十七题：
定积分的几何意义。

第十八题：
对于$xf(x)=1+\displaystyle\int_{0}^{x}u^2f(u)du$两边取极限可得$\displaystyle\lim_{x\to 0}xf(x)=1$

第十九题：
遇见$\sqrt{x}$，可以令$t=\sqrt{x}$，方便计算。
遇见复合函数中含有$e^x$要想到分部积分。

第二十题：
二重积分计算出题老头一般出题思路

  1. “画区域”
  2. 积分方法（直角坐标、极坐标）
  3. 交换积分次序
  4. 定积分计算

第二十一题：

第二十二题：
$A$有$n$个线性无关特征向量$\Longleftrightarrow$
$A_n$可以相似对角化$\Longleftrightarrow$
$A$的所有特征值的几何重数都等于代数重数
.
若$P^{-1}AP=\wedge\Longrightarrow P^{T}A^{T}(P^{-1})^T=\wedge^{T}=\wedge=P^{-1}AP$
于是$P^{-1}AP=\wedge$、$(P^{-1})^T\wedge P^{T}=(P^{T})^{-1}\wedge P^{T}=A^{T}$
$A\stackrel{P}{\longrightarrow}\wedge \stackrel{P^T}{\longrightarrow}A^T$
$Q=PP^T$

第四套

第一题：
$\arctan{x}$的泰勒展开：$\arctan{x}=x-\frac{1}{3}x^3 + … + (-1)^n\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}+O(x^{2n + 1})$

第二题：
左边通分处理，右边拉格朗日中值定理，可以求出$a、b$的值。

第三题：
在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上，$\tan{x}>x>\sin{x}$。

第四题：
$A、B$选项，代入$P=0$就可以发现不成立。
$C、D$选项：
$$\displaystyle\int e^{ax}sin{(bx)}dx = \frac{1}{a^2 + b^2}\begin{vmatrix} (e^{ax})^{\prime} & (sinbx)^{\prime} \\ e^{ax} & sinbx \end{vmatrix} + C$$
$$\displaystyle\int e^{ax}cos{(bx)}dx = \frac{1}{a^2 + b^2}\begin{vmatrix} (e^{ax})^{\prime} & (cosbx)^{\prime} \\ e^{ax} & cosbx \end{vmatrix} + C$$

第五题：
极坐标下的积分调换次序问题：

第六题：

特征值对应的不同情况

观察题目条件判断特征值的类型，从而反解出特征值，进而求得微分方程。

第七题：
$\displaystyle\frac{ds}{dt}=\frac{ds}{dx}\frac{dx}{dt}$，代入$\frac{ds}{dt}=1$，点$(6,9)$，计算出$\frac{dx}{dt}$即可

第八题：
$Ax=b$有解，不能判断出$|A|$的值是否为零。
$A、B、C$选项举例：$[A|b]=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$D$选项：
$Ax=b$有解$\Longrightarrow r(A)=r(A|b) \Longleftrightarrow r(A^T)=r\begin{bmatrix} A^T \\ b^T \end{bmatrix}$
注：$\begin{bmatrix} A & b \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} A^T \\ b^T \end{bmatrix}$
若$Ax=0$与$Bx=0$同解：

  1. $Ax=0$是$Bx=0$的解，且$r(A)=r(B)$
  2. $r(A)=r(B)=r(\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix})$

第九题：

  1. $(A\alpha)^T=\alpha^TA^T$
  2. 若列向量$\alpha$与$\beta$正交，则$\alpha^T\beta =0$

第十题：

  1. 若$A、B$等价，则同型，$r(A)=r(B)$。
  2. 若$A、B$相似，则$A\sim \wedge_A，B\sim \wedge_B，\wedge_A=\wedge_B$。
  3. 若$A、B$合同，实对称矩阵，正负惯性指数相同。

第十一题：
定积分定义$+$求极限。

第十二题：
求几项找规律。

第十三题：
求导，判断单调性。

第十四题：
参数方程求斜渐近线，注意当$x\to \infty$，$t$的取值

第十五题：
方法一：心形线，用极坐标方程求解
.
方法二：极坐标下的图形$r=r(\theta)(\alpha\le \theta \le \beta)$，绕极轴旋转，所得体积有一个公式，填空题可使用$$V=\displaystyle \frac{2}{3}\pi\int_{\alpha}^{\beta}r^{3}(\theta)\sin{\theta}d\theta$$

第十六题：

第十七题：
由于$f^{\prime\prime}(0)$存在，故$f(0)、f^{\prime}(0)$连续。
洛必达只能洛到连续的那一阶。
泰勒展开。

第十八题：
【辅导讲义117，例4.17】
利用倒数定义计算，由题目中给的式子可以求出一些初值条件，给微分方程确定未知数用。

第十九题：
方法一：拉格朗日乘除法。
方法二：若遇见好计算的可以尝试联立方程组，将条件方程中的$y^2$代入函数中，得到一个关于$x$的二元一次方程，由给定的条件求的$a、b$。

第二十题：
绝对值划分区域，考察二重积分的图像。
注：

.
注：遇见$\displaystyle\int (1+x)^4(2x-1)dx$，可以令$t=1+x$，将高次方降下来。

第二十一题：

  1. 若分式为头轻脚重，可以试着两边同时取分式，然后将$x$视作因变量，$y$视作自变量。
  2. 齐次方程：$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$，令$\frac{y}{x}=u\Rightarrow y = xu \Rightarrow \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$。

第二十二题：

  1. 实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交。

李4

第一套

第一题：
导数定阶法：
已知$\displaystyle\lim \alpha(x)=0$
（1）若$\alpha^{\prime}(x) \sim Ax^{k}$，则$\alpha(x)\sim \frac{A}{k+1}x^{k+1}$
（2）若$\alpha^{\prime}(x) \sim A$，则$\alpha(x)\sim Ax$

第二题：
画图，已知$f(b)>f(a)，f^{\prime}(b)=f^{\prime}(a)=0$。

第三题：
A、B：
通过设$F(x)=\frac{f(x)}{x}$，判断函数特性，会发现它是过原点的斜率：$k=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$，根据二阶导大于$0$，就可以判断$F(x)$单调递增。

C、D：

第四题：
反常积分，将它拆分为两个反常积分，分别处理其中的瑕点，将其化为$P$积分，大的喜欢大的，小的喜欢小的。

第五题：
由于二阶连续偏导数，于是对$\frac{\partial u}{\partial x}，\frac{\partial u}{\partial y}$继续分别对$x,y$求偏导，可以得到$\frac{\partial ^2u}{\partial x \partial y}，\frac{\partial ^2u}{\partial y \partial x}$，利用$\frac{\partial ^2u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial ^2u}{\partial y \partial x}$，待定系数法，解出$a,b$。

第六题：
对$F(x)$求导，研究函数特性。

第七题：
图像为：（注意它是关于$\frac{\pi}{4}$对称的，因此可以排除B、C、D）

.
涉及到三角反函数极坐标的转化看鸽4第一套第7题。

第八题：

  1. 左乘行变换，右乘列变化。
  2. $AA^{*}=|A|E$

第九题：
若$Ax=0$与$Bx=0$同解：

  1. $Ax=0$是$Bx=0$的解，且$r(A)=r(B)$
  2. $r(A)=r(B)=r(\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix})$
  3. $A$与$B$的行向量等价

第十题：

  1. 若$A、B$等价，则同型，$r(A)=r(B)$。
  2. 若$A、B$相似，则$A\sim \wedge_A，B\sim \wedge_B，\wedge_A=\wedge_B（特征值相同）$。
  3. 若$A、B$合同，实对称矩阵，正负惯性指数相同。

第十一题：
若$y=f(x)$的反函数为：

  1. $y=g(x)$，则$\displaystyle g^{\prime}(x_0)=\frac{1}{f^{\prime}(f(x_0))},g^{\prime \prime}(x_0)=\frac{-f^{\prime\prime}(f(x_0))}{[f^{\prime}(f(x_0))]^3}$
  2. $x=\phi(y)$，则$\displaystyle \phi^{\prime}(x_0)=\frac{1}{f^{\prime}(x_0)}，\phi^{\prime \prime}(x_0)=\frac{-f^{\prime\prime}(x_0)}{[f^{\prime}(x_0)]^{3}}$

第十二题：常规题。

第十三题：
$\displaystyle R=\frac{1}{k}，k=\frac{|y^{\prime\prime}|}{(1+y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}$

第十四题：
套弧长公式$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^{2}(\theta)+r^{\prime 2}(\theta)}d\theta$，此题由于对称性，算上半部分乘2即可。

第十五题：
遇见$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(1-x)(x-y)}}$这种形状，就要想到将分母配成完全平方，再利用$$\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{(a^2-x^2)}}dx=\arcsin{\frac{x}{a}}+C，a>0$$
注：计算二重积分的时候，对哪个变量积分，其他变量就视作常数，比如$\displaystyle\int dy\int f(x,y)dx$，当对内层积分$\displaystyle\int f(x,y)dx$积分时候，把$y$视作常数。
此题：$\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{(1-x)(x-y)}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{x-y-x^2+xy}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{-x^2+(1+y)x-y}}dx$
将$y$视作常数$\displaystyle=\int \frac{1}{\sqrt{-(x-\frac{1+y}{2})^{2}+\frac{(y+1)^2}{4}-y^2}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{-(x-\frac{1+y}{2})^{2}+(\frac{y-1}{2})^{2}}}dx$
$=\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{(\frac{y-1}{2})^{2}-(x-\frac{1+y}{2})^{2}}}dx=\displaystyle\arcsin{\frac{x-\frac{1+y}{2}}{\frac{y-1}{2}}}+C$，这样写是错误的！！！，注意$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$的积分中的$a>0$，而$y$的范围为$[0,1]$，$a=\frac{y-1}{2}$的范围就为$[-\frac{1}{2},0]$，是负数，因此为了避免出现负数，因此可以将$a$设置为$-a$（$a^{2}\Rightarrow a=\pm 1$），即$I=\displaystyle\arcsin{\frac{x-\frac{1+y}{2}}{\frac{1-y}{2}}}+C$，这样$\frac{1-y}{2}$的范围就为$[0,\frac{1}{2}]$

第十六题：运算关系。

第十七题：
定积分的定义+夹逼准则。
由于$\frac{k}{nk+1}$很复杂，可以联想到夹逼准则，将式子放缩。

第十八题：
含有$e^x$与$\sin{x},\cos{x}$混合的式子，一般都可以使用分部积分法将它积出来，然后再代入$\displaystyle\lim_{n\to \infty}na_n$

第十九题：
拉格朗日乘除法+待定系数法。

第二十题：图像画出，用 $y$形好做。
注：

第二十一题：
方法一：
利用几何意义，$\displaystyle f(x)\le \frac{2}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\Rightarrow f_{max}(x_0)\le \frac{2}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx \Rightarrow \frac{b-a}{2} f_{max}(x_0)\le \int_{a}^{b}f(x)dx$
分别讨论最大值在①端点，②不再端点。
不等式左边为三角形面积，右边为区域面积，画图可知。
方法二：
带拉格朗日余项的泰勒展开，在$x$点展开，代入最大值$x_0$，得$f(x)=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime}(\eta)}{2}(x-x_0)^2$，根据已知条件化简（注若式子中出现$f^{\prime},f^{\prime\prime}$，可以对式子两边同时积分，利用分部积分可以消除$f^{\prime},f^{\prime\prime}$）。

第二十二题：
第一问：
（1）经过正交变换得到标准型就可以知道$Q$是单位阵，列向量内积为$1$，且相互正交，即可解得$a,b,c$。
（2）$A_n$为正交矩阵$\Longleftrightarrow A_n^{T}A_n=E \Longleftrightarrow A^T=A^{-1}$。
（3）$Q^{T}AQ=\wedge=\begin{bmatrix} 0 & & \\ & 1 & \\ & & 2 \end{bmatrix}=QAQ^{-1}=QAQ^{T}$，不能使用好技巧中的超快速还原矩阵那个是针对$Q^{-1}AQ$这种情况。
（4）若$A$为正交矩阵，则$A^TA=E，A^{T}=A^{-1}$
第二问：
注：
若二次型$f=x^{T}Ax$经过正交变换$x=Qy$化为标准型$y_2^{2}+2y_3^{2}$
则二次型$f=x^{T}(A+2E)x$经过正交变换$x=Qy$化为标准型$2y_2^{2}+3y_2^{2}+4y_3^{2}$
也就是说若$A\stackrel{Q}{\longrightarrow}\wedge=\begin{bmatrix}0 & & \\ & 1 & \\ & & 2 \end{bmatrix}，A+2E\stackrel{Q}{\longrightarrow}\wedge_1=\begin{bmatrix}2 & & \\ & 3 & \\ & & 4 \end{bmatrix}$，这两个矩阵$Q$都是一样的！
这是因为矩阵$Q$实际上也就是特征向量，$A+2E$与$A$相比较，特征值改变了，但是特征向量没有改变。
方法一：
$B=A+E=P^{T}P=P^{T}EP\Longrightarrow E$经过$P$矩阵的变换下化为$B$矩阵。也就是$E\stackrel{P}{\longrightarrow} B$
而矩阵$B$可以通过正交变换化为标准型$B\stackrel{Q}{\longrightarrow}\wedge_1=\begin{bmatrix}1 & & \\ & 2 & \\ & & 3 \end{bmatrix}$
而矩阵$\wedge_1$可以也可以通过标准型化为规范形变为矩阵$E$，也就是$\wedge_1\stackrel{P_1}{\longrightarrow}E=\begin{bmatrix}1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{bmatrix}$，这个$P_1$就是$\begin{bmatrix}1 & & \\ & \frac{1}{\sqrt{2}} & \\ & & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$，求法就是通过$\wedge_1=y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}+3y_{3}^{2}$使用配方法。
综上所诉：
$E\stackrel{P}{\longrightarrow} B$
$B\stackrel{Q}{\longrightarrow} \wedge_1\stackrel{P_1}{\longrightarrow} E$
于是$P=(QP_1)^{-1}$。
方法二：
同方法一，不过求$B$的标准型使用的是配方法。
方法三：
$B=Q\wedge Q^{T}=Q\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 2 & \\ & & 3 \end{bmatrix}Q^{T}=Q\begin{bmatrix} 1 & & \\ & \sqrt{2} & \\ & & \sqrt{3} \end{bmatrix}Q^{T}Q\begin{bmatrix} 1 & & \\ & \sqrt{2} & \\ & & \sqrt{3} \end{bmatrix}Q^{T}$
令$P=Q\begin{bmatrix} 1 & & \\ & \sqrt{2} & \\ & & \sqrt{3} \end{bmatrix}Q^{T}$，可知$P=P^{T}$，此时的$P$就是要求的答案。

第二套

第一题：常规题。

第二题：求导研究。

第三题：数形结合。

第四题：

  1. $\displaystyle\int_{0}^{\pi}xf(\sin{x})dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin{x})dx$
    区间再现：令$t=上限+下限-x$，代入。
  2. $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin{x})dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{x})dx$

第五题：
分段点外直接求导，分段点上用定义$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。
注：$\displaystyle f_{xy}^{\prime\prime}(0,0)$是由$f(x,y)$对$x$求偏导得到$f_{x}^{\prime}(0,y)$，（此时可以先将$x=0$代入）。接下来就是关于$y$的一个一元函数了$f_{x}^{\prime}(0,y)$，（注意：这个一元函数也是一个关于$y=0$的分段函数）。再对$y$进行求偏导，判断$f_{xy}^{\prime\prime}(0,0)$是否等于$\displaystyle \lim_{x=0,y\to 0}\frac{f_{x}^{\prime}(0,y)-f_{x}^{\prime}(0,0)}{y-0}$

第六题：特值法。

第七题：

第八题：算！

第九题：
$Ax=0$有非零解$\Longrightarrow |A|=0$，计算出$a$代入运算。

第十题：

  1. 实对称矩阵一定可以相似对角化。
  2. 若$A$是实对称矩阵，那么$A^{T}，A^{-1}，A^{*}$也是实对称矩阵。
    .
    B选项：$(AB)^T=B^{T}A^{T}=BA$不一定等于$AB$。

第十一题：常规题。

第十二题：常规题。

第十三题：当反常积分出现瑕点的时候，通过取极限计算两个瑕点的积分。

第十四题：$(x-2y)dx+xdy=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x}-1$

第十五题：划分积分区域。

第十六题：行和相等行列式。

第十七题：泰勒展开，待定系数法。

第十八题：分段函数求单调性与极值。

第十九题：把图画好！

第二十题：
方法一：移项设函数，求导上单调。
注：利用拉格朗日中值定理。
$$\begin{aligned}I =& tf^{\prime\prime}(t)-f^{\prime}(t) \\ =& tf^{\prime\prime}(t) - [f^{\prime}(t)-f^{\prime}(0)] \\ =& tf^{\prime\prime}(t) -tf^{\prime\prime}(x_0)，(x_0\in (0,t)) \\ \Rightarrow I& > 0 \end{aligned}$$
.
方法二：利用带有拉格朗日余项的泰勒展开。

由于题目中有关于$x=0$的条件给的多，故可以移项设函数，将这个函数$F(x)$在$x=0$出展开，通过对$F(x)$求导，可以发现它本身$F(0)=0$、一阶导$F^{\prime}(0)=0$、二阶导$F^{\prime\prime}(0)=0$，均在$x=0$处为零，决定函数的正负就在三阶导上，通过研究三阶导的性态就能得出$F(x)$的大小关系[夜雨]。

第二十一题：
第二问，设$F(x)=e^{-x}(f(x)-f(0))$

  1. 找到两个零点，使用罗尔定理。
  2. 若只找到一个零点，另一个零点可以看$F(x)$是否存在一正一负的点，可以使用零点定理。
  3. 若找不到，可以看$F^{\prime}(x)$是否存在一正一负的点，使用零点定理，一步到位。

第二十二题：

  1. $A\sim B\Longrightarrow$，$A$与$B$有相同的特征值。
  2. $tr(A)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$
  3. $|A|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3$
  4. 若$\lambda$是$A_{n\times n}$的$m$重特征值，则$r(A-\lambda E)=n-m$
  5. $A\sim B，B\sim C\Longrightarrow A\sim C$

第三套

第一题：
二次积分求极限/求导完整体系
方法一：标准型直接求。
方法二：非标准型——①换序，②换坐标系，③换元。
方法三：二重积分积分中值定理（区域面积）

第二题：
参数方程求导，注意$y$的函数，是关于$t$的复合函数。

第三题：
画图，数形结合。

第四题：

  1. 特殊函数法：令$f(x)=1$
  2. 等咋子哥。

第五题：
注：$\displaystyle\int \frac{1}{x}dx=\ln{|x|}+C$，有个绝对值！视情况而加。

第六题：
等咋子哥。

第七题：
先找到非齐次方程的解，也就是三个解中不变的哪一项$xe^{x}$，剩下的就是其次方程的解，会发现特征值分别为$2,-1$，就能反解出微分方程。

第八题：

  1. $n$阶矩阵$A$的$m$阶子式的行列式不为零，则$r(A)\ge m$
  2. $Ax=b$有无穷多解$\Longrightarrow |A|=0 \Longrightarrow r(A)<n $
  3. $AA^{*}=|A|E$

第九题：
看咋子哥。

第十题：
特值法：取$\alpha=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，求出$A^{*}$的特征值。

第十一题：
看咋子哥。

第十二题：
注：$1+\sin{x}=\sin^{2}(\frac{x}{2})+\cos^{2}(\frac{x}{2})+2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})=\left(\sin(\frac{x}{2})+\cos(\frac{x}{2})\right)^2$

第十三题：
看咋子哥。

第十四题：
等式两边求导得关于$y$的函数，再求导得关于$y^{\prime}$的函数。

第十五题：
同[第二套卷]第十四题。

第十六题：
求出$B$的特征值，但是不好求。
于是转化为对式子进行恒等变形，将其变为熟悉的式子。

第十七题：
方程根的问题，将方程的极值求出来以后，对极值进行讨论确定$k$的范围即可。

第十八题：
一个函数要小于等于一个值$k$的最小值$\Longleftrightarrow k \ge$这个函数的最大值。
于是问题就转化为求前面的二元函数的最大值。
方法一：对于绝对值求极值，可以采取分段函数。
方法二：对于绝对值求极值，可以利用$|f|\le k\Longleftrightarrow -k\le f\le k$
方法三：对于绝对值求极值，由于后续运算中一定会求导数，来确定极值，因此我们可以对函数两边取指数进行运算，由于指数的导数中可以蕴含绝对值。$f(x,y)=|x^2-y^2|e^{-x^2-y^2}\Longrightarrow \ln{f(x,y)}=\ln{(|x^2-y^2|)}+(-x^2-y^2)$。求$\ln{f(x,y)}$的最大值，进而再转化为$f(x,y)$的最大值。

第十九题：
第二问：
$\displaystyle \int_{0}^{n\pi}|x\sin{x}|dx=\frac{n\pi}{2}\int_{0}^{n\pi}|\sin{x}|dx$
（利用区间再现公式，$令t=上限+下限-x$）
.
$\displaystyle \int_{0}^{n\pi}|\sin{x}|dx=n\int_{0}^{\pi}|\sin{x}|dx$（几何意义）

第二十题：
轮换对称性。
.
对于积分 $\displaystyle\int \frac{1}{(\sin{x}+\cos{x})^2}dx$的积分来说，有以下两种方法：

  1. 上下同时除$\cos^{2}{x}$，得$\displaystyle\int \frac{\frac{1}{\cos^{2}{x}}}{(\tan{x}+1)^2}dx=\displaystyle\int \frac{1}{(\tan{x}+1)^2}d\tan{x}$
  2. $\displaystyle\int \frac{1}{(\sin{x}+\cos{x})^2}dx=\displaystyle\int \frac{1}{(\sqrt{2}\sin{(x+\frac{\pi}{4}))^{2}}}dx=\displaystyle\int \frac{1}{2(\sin{x+\frac{\pi}{4}})^2}dx$
    令$t=x+\frac{\pi}{4}$，利用$\displaystyle\int \csc^2{x}=-\cot{x}+C$

第二十一题：

第二十二题：

  1. 若$\alpha$为非零实列向量，则$\alpha\alpha^{T}$为实对称矩阵。
  2. 两个实对称矩阵相加减还是实对称矩阵。
  3. 正交阵$A \Longrightarrow |A|=\pm 1，A^2=E$
  4. 遇见$(\alpha\alpha^{T})^2$可以平方拆开化为$\alpha\alpha^{T}\alpha\alpha^{T}=\alpha(\alpha^{T}\alpha)\alpha^{T}=(\alpha^{T}\alpha)\alpha\alpha^{T}$，注：$\alpha^{T}\alpha$是一个数。