现代杨
第一章 行列式
例题
题目
回答情况
第1题
√
第2题
x x
第3题
x √
第4题
x √
第5题
x x
第6题
x √
第7题
x x
第8题
x √
第9题
x √
第10题
x x
第11题
x √
第12题
x x
第13题
x x
第14题
x √
第15题
x x
第16题
x √
第17题
x √
第18题
x x
第19题
x x
第20题
√
第21题
x √
第22题
x x
第23题
x √
第24题
x √
第25题
√
第26题
x
第27题
x
总结
第二题:变换3,4行为X型行列式。
第三题:把含有$x$的项化简为越少越好。
第四题:数学归纳法,先找$n=1,n=2,n=3$的特殊情况,找出规律,再用数学归纳法进行证明。
第五题:研究n阶行列式,先看4阶或者5阶行列式找规律。此题是"么"字型行列式。
第六题:判断A是否为可逆矩阵,就分析$|A|$是否为零。
$\begin{cases} | ...
数学公式自测
画出一下函数的大致图像
(1)$\sin{x}$
(2)$\cos{x}$
(3)$\tan{x}$
(4)$\cot{x}$
(5)$\sec{x}$
(6)$\csc{x}$
(7)$\arcsin{x}$
(8)$\arccos{x}$
(9)$\arctan{x}$
(10)$arccot{x}$
(11)$\arctan{x}+arccot{x}=\frac{\pi}{2}$
(12)三幅图:$y=x^\alpha$,当$\begin{cases} \alpha<0 \\ \alpha=0 \\ \alpha>0 \begin{cases} 0<\alpha<1 \\ \alpha=1 \\ \alpha>1 \end{cases} \end{cases} $
(13)1、心形线,2、双纽线,3、星形线,4、摆线。
心形线
注:$ρ=a(1-\cos{x})$,根据坐标变换公式$\cos{\theta}=\frac{x}{ρ}$以及$ρ=\sqrt{x^2+y^2}$可知其直角坐标方程$x^2+y^2=(x+\frac{x^ ...
mathjax-test
$f(x)$ 一阶连续可导 $\quad\Rightarrow\quad$ $\lim\limits_{x \to 0} f’(x_0 + x) = f’(x_0)$
$$ \begin{aligned} \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\displaystyle\int_0^{x^2}f(t)dt}{x^2\displaystyle\int_0^xf(t)dt} &\xlongequal{L’} \lim\limits_{x\to0}\dfrac{2x f(x^2)}{2x\displaystyle\int_0^xf(t)dt + x^2f(x)} \\ &= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{2f(x^2)}{2\displaystyle\int_0^xf(t)dt + xf(x)} \\ &\xlongequal{L’} \lim\limits_{x\to0}\dfrac{4xf’(x^2)}{3f(x) + xf’(x)} \\ &= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{4f’(x^2)}{3 ...
AtCoder Beginner Contest 255 A—E
A
题目描述
给定一个的$ \ 2 \times 2 \ $矩阵$ \ A \ $,输出其中的值$ \ A_{R,C} \ $。
题目分析
时间复杂度:$O(1)$。
输入就行嘞。
$Code$
123456789101112131415int n, m;int a[10][10]; int main(){ cin >> n >> m; for(int i = 1; i <= 2; i ++ ) for(int j = 1; j <= 2; j ++ ) cin >> a[i][j]; cout << a[n][m] << endl; return 0;}
$ \ $
$ \ $
B
题目描述
有$ \ N \ $个人在位置为$(X_i,Y_i)$的位置上。
其中有$ \ K \ $个人是特殊人~~(被选中的孩子)~~,能够发射光芒。
当一个人位于$ \ (x,y) \ $坐标发射半径为$ \ R \ $的光芒时候,能够照亮以$ \ (x,y) \ $为圆心,半径为$ \ R \ $ ...
AtCoder Beginner Contest 252 A—F
本题解思路来自这两位大佬 cup-pyy 、 GoodCoder666
A
题目描述
输出一个数字对应的ASCII码。
题目分析
时间复杂度:$O(1)$。
$Code$
1234567int main(){ int n; cin >> n; cout << (char)n << endl; return 0;}
$ \ $
$ \ $
B
题目描述
高桥有$ \ N \ $个食物,第 $ \ i \ $个食物有个美味程度$ \ A_i\ $。
在这些食物中,他有$ \ K \ $个不喜欢的食物,下标分别为$i = 1,2,…,K$。
高桥会选择美味程度最大的品尝,他是否会吃到他不喜欢的食物呢?
如果吃到了输出Yes,否则输出No。
题目分析
时间复杂度:$O(n)$。
我们用$ \ a \ $数组记录每个食物的美味程度,用$ \ b \ $布尔数组记录高桥不喜欢的食物。
用$ \ maxv \ $记录美味程度最大的值。
遍历$ \ a \ $数组,如果找到
maxv == a[i] && b[i],则说明当 ...
AtCoder Beginner Contest 254 A—D
A
题目描述
给定一个至少为100的数字,输出它的十位和个位。
题目分析
时间复杂度:$O(1)$。
枚举即可。
$Code$
1234567891011int main(){ string s; cin >> s; int len = s.size(); cout << s[len - 2] << s[len - 1] << endl; return 0;}
$ \ $
$ \ $
B
题目描述
找到$n$行如下定义的数组:
第$ \ i \ $行的数组长度为$ \ i \ $。
对于第$ \ i \ $行$ \ j \ $列的元素需要满足 如下定义:
$a_{i,j} \ = \ 1。如果j \ = \ 1 \ 或者 \ j \ = \ i$
$a_{i,j} \ = \ a_{i - 1, j - 1} + a_{i - 1, j}$
题目分析
时间复杂度:$O(n^2)$。
由于数据范围很小$1 \le N \le 30$,所有我们可以将所有的情况列出,直接查表即可。
先处理特殊情况$j \ ...
AtCoder Beginner Contest 253 A—E
本题解思路来自于 spoonjunxi
A
题目描述
给定三个数$a,b,c$,判断$b$是否在$[a,c]$之间,如果是输出Yes,否则输出No。
题目分析
直接判断即可。
$Code$
12345int a, b, c;cin >> a >> b >> c;if(b >= a && b <= c || b <= a && b >= c) puts("Yes");else puts("No");
$ \ $
$ \ $
B
题目描述
给定一个矩形,求出矩形中两个o之间的距离。
题目分析
曼哈顿距离公式。
$Code$
12345678910111213141516171819202122232425int n, m;int a[4];int idx;int main(){ cin >> n >> m; char c; for(int i = 1; i <= n; i ++ ) for(int j = 1 ...
不定积分-换元法-分部积分
换元法
换元法最重要的作用就是"打开局面"。在做积分题时,只需我们选择恰当的换元,就可以将复杂的积分变得非常简洁,尤其是在处理有根式的积分时,常常会使用换元法。
(1) 整体换元
被积函数中出现"$\sqrt{一次函数},\sqrt{\frac{一次函数}{一次函数}},\sqrt{e^{ax} + b},\frac{e^{ax} + b}{e^{ax} - b}$"可以直接将整个根号令为$t$,达到去掉根号的效果!
(当然,该方法虽然一定可行,但不一定是最快的方法,所以也需要具体问题具体分析)
例1
$\int\sqrt{\frac{x}{1 + x}}dx$
[解]:
$$令\sqrt{\frac{x}{1 + x}} = t \Rightarrow I = \int td\frac{1}{1 - t^2}$$
$$分部积分 \Rightarrow \frac{t}{1 - t^2} - \int\frac{1}{1 - t^2}dt$$
$$= \ \frac{t}{1 - t^2} + \int\frac{1}{t^2 - 1}dt$$ ...
不定积分--三角函数的积分
套路二 三角有理函数的积分
引言
以$R(u,v)$表示由$u,v$及常数经过有限次的四则运算得到的二次函数。而$R(\sin{x}, \cos{x})$则称为三角有理函数,比如$y = \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \ \ \ y = \frac{1}{1 + \cos{x}} \ \ \ y = \frac{1}{(\sin{x} + \cos{x})^2}$这些都属于三角有理函数。
而一切的三角有理函数,都可以用过换元$\tan{\frac{x}{2}} = t(万能公式)$化为有理函数,而有理函数的积分,在套路一中已经解决过了,所以,“从理论上来说”,一切的三角有理函数的积分,其实也已经解决了。
但是!万能的方法,不一定是最好的方法。很多三角有理函数的积分,如果盲目的使用万能公式,$\tan{\frac{x}{2}} = t$,则计算量会特别大,所以我们需要具体问题具体分析,找到每一个题目的特殊解法!
(一) 万能公式换元法,令$\tan{\frac{x}{2}} = t$
对于$\int R(\sin{x}, \cos{x})dx$,只需令$\tan ...
不定积分--有理函数的积分
套路一 有理函数的积分 ($\int \frac{多项式}{多项式}dx)$
(一)有理函数积分的通项方法——裂项$ \ $+$ \ $待定系数
$ \ \ $有理函数从宏观上可分为真分式(分母为最高次项)和假分式(分子为最高次项),而任意一个假分式都可以通过多项式除法变成多项式与真分式之和。由于多项式的积分是简单的,所以解决有理函数函数的积分。本质上就变成了解决有理真分式的积分。而对于真分式的积分,我们有如下固定套路——
将该真分式的分母进行因式分解(一直分解到无法再分解为止)
然后进行裂项,裂项的原则如下——
①只需分母中含有$(x \ - \ a)^{k}$,则裂项后的式子中一定含有$\frac{A_1}{x \ - \ a} \ + \ \frac{A_2}{(x \ - \ a)^2} \ + \ … \ + \frac{A_k}{(x \ - \ a)^{k}}$
②只需要分母中含有$(x^2 \ + \ px \ + \ q)^k$(注:因为已经分解到"不能再分解"了,所以这里的$p^2 \ - 4q \ < \ 0$),则裂项后的式子 ...