现代杨
第一章 行列式
例题
| 题目 | 回答情况 |
|---|---|
| 第1题 | √ |
| 第2题 | x x |
| 第3题 | x √ |
| 第4题 | x √ |
| 第5题 | x x |
| 第6题 | x √ |
| 第7题 | x x |
| 第8题 | x √ |
| 第9题 | x √ |
| 第10题 | x x |
| 第11题 | x √ |
| 第12题 | x x |
| 第13题 | x x |
| 第14题 | x √ |
| 第15题 | x x |
| 第16题 | x √ |
| 第17题 | x √ |
| 第18题 | x x |
| 第19题 | x x |
| 第20题 | √ |
| 第21题 | x √ |
| 第22题 | x x |
| 第23题 | x √ |
| 第24题 | x √ |
| 第25题 | √ |
| 第26题 | x |
| 第27题 | x |
总结
第二题：变换3,4行为X型行列式。
第三题：把含有$x$的项化简为越少越好。
第四题：数学归纳法，先找$n=1,n=2,n=3$的特殊情况，找出规律，再用数学归纳法进行证明。
第五题：研究n阶行列式，先看4阶或者5阶行列式找规律。此题是"么"字型行列式。
第六题：判断A是否为可逆矩阵，就分析$|A|$是否为零。
$\begin{cases} |A|\not ={0} \Longleftrightarrow A可逆 \\ |A|={0} \Longleftrightarrow A不可逆 \end{cases}$
第七题：考察行列式性质：(1)行列式拆行，列的性质；(2)行列式行，列调换位置。
第八题：
（1）学会使用矩阵等式描述线性代数的语言。
（2）$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是线性无关的向量组$\Longrightarrow |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3| \not= 0$。
第九题：
（1）$|A+B| \not= |A| + |B|$。
（2）通过恒等变形分离出$|B|$，利用已知的$A$求出$|B|$。
第十题：同九题思路，通过恒等变形，分离出需要的条件。
注意：$|kA_n|=k^n|A|$。
第十一题：
（1）伴随矩阵的母公式。
（2）$|A^{-1}B^{-1}|=|A^{-1}||B^{-1}|$。
第十二题：从已知条件触发，构建一个矩阵等式。
（1）$|A||A+B^{-1}||B|=|A^{-1}+B|$.
第十三题：从已知条件出发，构造矩阵等式。
（1）$|A^T|=|A|$。
（2）$AA^T=E \Longrightarrow |A|=\pm 1$。
第十四题：
（1）$A \stackrel{r_1 \leftrightarrow r_2}{\longrightarrow}B \Longrightarrow |A|=-|B|$。
（2）$|A_n^{*}|=|A_n|^{n-1}$
第十五题：
（1）$\begin{vmatrix} 0 & A_m \\ B_n & 0 \end{vmatrix}=(-1)^{n \times m} \times |A||B|$。
（2）$|A_n^{*}|=|A_n|^{n-1}$
第十六题："胖矩阵"一定是降秩矩阵（不可逆矩阵）$\Longrightarrow |C|=0$。
证明：$R(c_4)=R(AB) \le R(A_{4\times 2}) \le 2 < 4$
第十七题：
（1）若$|A| \not= 0 \Longrightarrow Ax=b$有唯一解。
（1）若$R(A) \not= R(A,b) \Longrightarrow Ax=b$无解。
第十八题：
学会用矩阵等式描述线性代数语言。
$a_{ij}+A_{ij}=0\Longrightarrow a_{ij}=-A_{ij}$
第十九题：学会用矩阵等式描述线性代数语言。
第二十题：有四种方法，后面再进行补充。
第二十一题：
（1）3个3维列向量$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关$\Longleftrightarrow |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3| \not= 0$。
（2）3个3维列向量$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性相关$\Longleftrightarrow |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3| = 0$。
第二十二题：求特征值，就是求$|A-\lambda E|=0$，思路：把某一行（列）化出两个0，然后进行展开。
第二十三题：
（1）若$A$与$B$相似，则$A$与$B$有相同的特征值。
（2）若$\lambda$是$A$的特征值，则$\frac{1}{ \lambda }$是$A^{-1}$的特征值。
（3）若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
（4）$|A_n|=\alpha_1 \alpha_2 …\alpha_n$
第二十四题：若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
第二十五题：
（1）特征值的几何重数$\le$代数重数。
（2）若$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，则$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2=0$只有零解$k_1=0,k_2=0$
第二十六题：
（1）若$R(A_n)=1$，则$A_n$的特征值为$0,0,…,0,tr(A)$，$(n-1个零)$。
（2）若$\alpha,\beta$为$n$维列向量，则$tr(\alpha\beta^T)=\alpha^T\beta$。
（3）若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
（4）$|A_n|=\lambda_1\lambda_2…\lambda_n$。
第二十七题：
针对带参数的具体矩阵一般用顺序主子式为正来判断正定性 。
例：矩阵$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 1 \end{bmatrix}$。
它的一阶顺序主子式为$|2|>0$
二阶顺序主子式$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=2-1=1>0$
三阶顺序主子式$|A|=1-\frac{1}{2}t^2>0$
故如果二次型为正定，那么它的三阶顺序主子式的行列式就必须大于0$\Longrightarrow -\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$。
习题
| 题目 | 回答情况 |
|---|---|
| 第1题 | x x |
| 第2题 | x √ |
| 第3题 | x √ |
| 第4题 | x √ |
| 第5题 | x √ |
| 第6题 | √ |
| 第7题 | √ |
| 第8题 | √ |
| 第9题 | x x |
| 第10题 | x x |
| 第11题 | x √ |
| 第12题 | x x |
| 第13题 | x x |
| 第14题 | x x |
| 第15题 | x √ |
| 第16题 | x x |
| 第17题 | x √ |
| 第18题 | x √ |
| 第19题 | x x |
| 第20题 | x x |
| 第21题 | √ |
| 第22题 | √ |
| 第23题 | x |
| 第24题 | x |
| 第25题 | x |
| 第26题 | x |
| 第27题 | x |
总结
第一题：观察得，行（列）和相等的行列式，将所有元素提至相等的那一行（列）的第一行（列），然后提出总和，再进行化简。
第二题：将x消得越少越好。
第三题："么"字型行列式。
第四题："ab"行列式。
第五题：
（1）特值法。
（2）行列式拆行拆列的性质。
第九题：设$A$为可逆矩阵。
（1）$A^*=|A|A^{-1}$
（2）$(KA)^{-1}=K^{-1}A^{-1}$
（3）$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
（4）$|KA_n|=K^n|A_n|$
第十题：计算出错。
第十一题：从已知条件触发构造矩阵等式。
第十二题：
（1）若$A$为正交矩阵，则$A^TA=E$
（2）若$A$为正交矩阵，则$|A|=\pm 1$
（3）$(A+B)^T=A^T+B^T$
（4）$(AB)^T=B^TA^T$
（5）$(A^T)^T=A$
（6）$ E^T=E$
第十三题：
第十四题：克莱姆法则：$|A^T| \not= 0$，有唯一解。
解为$X_j=\frac{D_j}{D}$
第十五题：弄清楚$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。
第十六题：
（1）$A^*=|A|A^{-1}$
（2）$\begin{bmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} 0 & B^{-1} \\ A^{-1} & 0 \end{bmatrix}$
（3）$\begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} a^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & b^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & c^{-1} \end{bmatrix}$
第十七题：
（1）若$r(A_n)=1$，则$A$的特征值为$\underbrace{0,0,…,0}_{n-1},tr(A)$。
（2）若$A=\alpha \beta ^T$,($\alpha \beta$为$n$维列向量)。则$tr(A)=\alpha^T\beta$。
（3）若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
（4）若0是$A$的特征值，则$|A|=0$。
第十八题：跟着题目描述把$A^*A=|A|E$换为$A^TA=|A|E$进行运算，然后利用反证法。
第十九题：
若$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，且$(\beta_1,\beta_2,…,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n)P_n$
（1）若$|P| \not= 0 \Longrightarrow \beta_1,\beta_2,…,\beta_n$线性无关。
（1）若$|P| = 0 \Longrightarrow \beta_1,\beta_2,…,\beta_n$线性相关。
第二十题：
（1）
（2）
（3）若$\lambda$是$A$的特征值，则$\frac{|A|}{\lambda}$是$A^*$的特征值，$|A_3|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3$。
第二十三题：
（1）若$|A-KE|=0$，则$K$是$A$的特征值（特征方程的概念）。
（2）$A$不可逆$\Longleftrightarrow |A|=0$
（3）若$r(A_n)=r<n$，则0是$A_n$的至少$n-r$重特征值。
（4）若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
（5）$|A|=\lambda_1\lambda_2…\lambda_n$
第二十四题：
思想：如果看见$n$阶矩阵可以想到降维（阶）处理，将其视为$2$维（阶）进行处理。
第二十五题：
（1）若$A_n(A_n-3E_n)=0$，则$r(A)+r(A-2E)=0$。
（2）$r(A_n)<n\Longleftrightarrow |A_n|=0 \Longleftrightarrow 0$是$A$的特征值。
（3）
$Ax=0$的非零解向量是$A$的属于$\lambda=0$的特征向量。
$(A-2E)x=0$的非零解向量是$A$的属于$\lambda=2$的特征向量。
（4）$A_nx=0$基础解系含有$n-r(A)$个解向量（几何重数）。
（5）$A$的特征值的代数重数$\ge$几何重数。
（6）若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
（7）$|A_n|=\lambda_1\lambda_2…\lambda_n$
（8）$A_n$有$n$个特征值
第二十七题：
（1）$A_n$为正交矩阵$\Longleftrightarrow A_n^{T}A_n=E \Longleftrightarrow A^T=A^{-1}$。
（2）$|A^T|=|A|$
（3）$(A+B)^T=A^T+B^T$
（4）$|kA_n|=k^n|A|$
（5）$(A^T)^T=A$
（6）$|AB|=|A||B|$
第二章 矩阵
例题
| 题目 | 回答情况 |
|---|---|
| 第1题 | x x |
| 第2题 | x x |
| 第3题 | √ |
| 第4题 | x x |
| 第5题 | x x |
| 第6题 | x √ |
| 第7题 | x √ |
| 第8题 | √ |
| 第9题 | x √ |
| 第10题 | x x |
| 第11题 | x x |
| 第12题 | x x |
| 第13题 | x x |
| 第14题 | x x |
| 第15题 | x √ |
| 第16题 | x √ |
| 第17题 | √ x |
| 第18题 | x |
| 第19题 | x √ |
| 第20题 | x √ |
| 第21题 | √ x |
| 第22题 | x √ |
| 第23题 | x x |
| 第24题 | x x |
| 第25题 | x |
| 第26题 | x |
总结
第一题：
掌握六中高次幂的方阵处理方法：
（1）对角(分块)矩阵
（2）找规律
（3）秩为1的矩阵
（4）$A=E+B$，$B$简单
（5）$A=P^{-1}BP$，$B$简单
（6）$P^nAQ^m$，其中$P$和$Q$是初等方阵
此题需要将$A$变为一个列向量$\times$行向量。
第二题：
掌握六中高次幂的方阵处理方法。
属于第4种。
第四题：
第五题：
看见复杂的4阶行列式一般都需要用技巧，而不是硬着头皮求。
通过观察可以得$A^TA=30E \Longrightarrow \frac{1}{30}A^TA=E$，那么$\frac{1}{30}A^T$就是$A^{-1}$。
第七题：通过矩阵的恒等变形。
第八题：矩阵等式恒等变形。
通用解法：
若$f(A)=0$，求$(A-kE)^{-1}=?$
[分析]：$(A-kE)g(A)=\lambda E$
若$\lambda \not= 0 \Longrightarrow (A-kE)^{-1}=\frac{1}{\lambda}g(A)$
第十题：
（1）$|A^k|=|A|^k$。
（2）若$A_n B_n C_n=E_n$，则$A,B,C$都可逆。
（3）$|ABC|=|A||B||C|$
（4）$|A|\not= 0\Longrightarrow A$可逆。
（5）$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。
（6）求$A^{-1}$的方法：$(A,E) \longrightarrow 初等行变换… \longrightarrow (E,A^{-1})$。
错误原因：最后一步求逆出错QAQ。
第十二题：取$k=2，k=3，k=4$找找规律。
第十三题：
（1）若$f(A)=0$，则$A$的特征值一定在$f(x)=0$的根中选取。
（2）若$A$为实对称矩阵，则$A$的特征值都是实数。
（3）若$A$为实对称矩阵，则$A$一定可以相似对角化。
（4）若实对称矩阵$A$的特征值都为正，则$A$正定。
（5）若$A^TA=E$，则$A$为正交矩阵。
（6）若$|A|\not= 0$，则$A$为非奇异矩阵。
第十四题：
（1）初等矩阵的逆
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \\$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{7} \end{bmatrix} \\$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 1 \end{bmatrix}$
（2）初等矩阵定理
若$A\stackrel{r_1 \rightleftarrows r_2}{\longrightarrow}B，E\stackrel{r_1 \rightleftarrows r_2}{\longrightarrow}P$，
则一定存在一个矩阵$P$，使得$PA=B$，进行行变换。
若$A\stackrel{c_3 \rightleftarrows 3c_3}{\longrightarrow}C，E\stackrel{c_3 \rightleftarrows 3c_3}{\longrightarrow}P$，
则一定存在一个矩阵$Q$，使得$AQ=C$，进行列变换。
[总结]左乘行变换，右乘列变换。
第十五题：找到$P$与$Q$的关系。
第十六题：
第十七题：
对一个矩阵$A$左乘$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$就相当于对矩阵$A$进行初等行变换，第一行加上第三行。
对一个矩阵$A$右乘$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$就相当于对矩阵$A$进行初等列变换，第一列与第三列进行交换。
第十八题：
（1）
$A$的列向量组可以线性表示$AB$的列向量组
假设$C_3=A_3B_3\Longrightarrow (C_1,C_2,C_2)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 7 \end{bmatrix}$
就有$\begin{cases} C_1=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3 \\ C_2=3\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3 \\ C_3=\alpha_1+\alpha_2+7\alpha_3 \end{cases}$
（2）
$A$的行向量组可以线性表示$BA$的行向量组
假设$C_3=B_3A_3\Longrightarrow \begin{bmatrix} P_1 \\ P_2 \\ P_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{bmatrix}$
就有$\begin{cases} C_1=\alpha_1+3\alpha_2+\alpha_3 \\ C_2=2\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3 \\ C_3=3\alpha_1+\alpha_2+7\alpha_3 \end{cases}$
（3）$r\begin{bmatrix} A & \\ & B \end{bmatrix}=r(A)+r(B)$
（4）$r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)$
第十九题：
第二十题：
（1）$R(AB) \le R(A)，R(AB) \le R(B)$
（2）$R(A_{m\times n}) \le m，R(A_{m\times n}) \le n$
（3）$R(E_m) = m$
第二十一题：
（1）$r(A) \le r([A,B])$
（2）$r(AB) \le r(A)$
（3）$A(B,C)=(AB,AC)$
（4）$(B,C)A \not= (BA,CA)$，但是$\begin{pmatrix} B \\ C \end{pmatrix}A = \begin{pmatrix} BA \\ CA \end{pmatrix}$
第二十二题：
（1）设$\alpha,\beta$为$n$维列向量，若$A=\alpha \beta^T$，则$A$的特征值为$n-1$个$0$，$tr(A)=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha$。
（2）实对称矩阵一定可以相似对角化。
（3）若$A$可以相似对角化，则$r(A)$等于$A$的非零特征值的个数。
（4）若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
第二十三题：若$A$与$B$等价
则：
（1）$r(A)=r(B)$。
（2）$A$与$B$具有相同的行最简形(此题需要)。
（3）$Ax=0$与$Bx=0$同解。
第二十四题：
（1）若$r(A_{m\times n})=m$，则$Ax=b$一定有解，若$A$行满秩，则$A$列向量组可以线性表示任意同维行向量。
（2）若$A$列满秩，则$A$列向量组可以线性表示任意同维列向量。
（3）$A$列向量组可以线性表示$Ax$列向量组。
（4）$A$行向量组可以线性表示$yA$行向量组。
（5）$r(\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix})=r(A)+r(B) \\ r(\begin{bmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{bmatrix})=r(A)+r(B)$
第二十五题：
（1）若$A-kE$不可逆，则$|A-kE|=0$。
（2）若$|A-kE|=0$，则$k$是A的特征值。
（3）若实对称矩阵，$r(A_n)=r<n$，则$0$是$A$的$n-r$重特征值。
（4）若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
（5）实对称矩阵的秩等于它的非零特征值的个数。
出错原因：特征值计算出错。
习题
| 题目 | 回答情况 |
|---|---|
| 第1题 | √ |
| 第2题 | x √ |
| 第3题 | x x |
| 第4题 | √ |
| 第5题 | x √ |
| 第6题 | √ |
| 第7题 | x √ |
| 第8题 | √ |
| 第9题 | x √ |
| 第10题 | √ |
| 第11题 | √ |
| 第12题 | x x |
| 第13题 | x |
| 第14题 | x x |
| 第15题 | x x |
| 第16题 | x x |
| 第17题 | x √ |
| 第18题 | x √ |
| 第19题 | √ |
| 第20题 | √ |
| 第21题 | √ |
| 第22题 | √ |
| 第23题 | √ |
| 第24题 | √ |
| 第25题 | √ |
| 第26题 | √ |
| 第27题 | √ |
总结
第二题：由于0很多，直接求二次方，四次方找规律。
第三题：
（1）$|A-eE|\not= 0 \Longrightarrow |A-3E|可逆$。
主对角线矩阵求逆：主对角线元素取倒数
副对角线矩阵求逆：副对角线元素取倒数并逆序
计算出错惹。
第五题：看错题目。（c#）
第七题：$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=A\alpha_1+A\alpha_2+A\alpha_3$是乘法法则。
第九题：$|A||B||C|=1\not= 0 \Longrightarrow A,B,C$可逆，于是将式子进行变换。
第十一题：
第十二题：进行初等变换。切记$\alpha \alpha^T \alpha \alpha^T = 2a^2\alpha \alpha^T \not= 4a^4$。
第十三题：
（1）若$A_nB_n=E_n$则$A,B$都是可逆矩阵。
（2）$\begin{aligned}A^3+E=(A+E)(A^2-A+E) \\ A^3-E=(A-E)(A^2+A+E)\end{aligned}$
第十四题：$|A_n^*|=|A|^{n-1} \Longrightarrow 可以推出|A|$。
矩阵等式的恒定变形问题；注意进行恒等变形的时候，不能只考虑逆的运算，也需要考虑伴随矩阵的运算。
第十五题：计算出错。
第十六题：求逆矩阵搞错惹。
第十七题：
第十八题：左乘进行初等行变换，右乘进行初等列变换。
第二十题：初等变化。
第三章 向量
例题
| 题目 | 回答情况 |
|---|---|
| 第1题 | x |
| 第2题 | x |
| 第3题 | x |
| 第4题 | x |
| 第5题 | x |
| 第6题 | √ |
| 第7题 | √ |
| 第8题 | x |
| 第9题 | x |
| 第10题 | x |
| 第11题 | x |
| 第12题 | x |
| 第13题 | x |
| 第14题 | x |
| 第15题 | x |
| 第16题 | x |
| 第17题 | x |
| 第18题 | x |
总结
第一题：
（1）若$A_n \not= 0 \Longrightarrow A_n$的列向量组线性无关。
（2）若$A_n = 0 \Longrightarrow A_n$的列向量组线性相关。
（3）若$n$个$n$维列向量组$\alpha_1 \alpha_2 … \alpha_n$线性无关，则任一$n$维向量可以由$\alpha_1 \alpha_2 … \alpha_n$线性表示。
（4）若一个$n$维列向量$\beta$不能由$n$个$n$维列向量组$\alpha_1 \alpha_2 … \alpha_n$线性表示，则$\alpha_1 \alpha_2 … \alpha_n$线性相关。
（5）用$\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3$线性表示$\beta_1\beta_2\beta_3$的方法：$$\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \end{bmatrix} \longrightarrow 初等行变换 \longrightarrow \begin{bmatrix} 行最简形 \end{bmatrix}$$
第二题：
（1）$R(A)=R(A,b)\Longleftrightarrow Ax=b$有解$\Longleftrightarrow A$列向量可以线性表示 $b$。
（2）
$R(A)=R(A,B) \Longleftrightarrow A$列向量可以线性表示$B$列向量。
$R(B)=R(B,A) \Longleftrightarrow B$列向量可以线性表示$A$列向量。
（3）$R(A)=R(B)=R(A,B)\Longleftrightarrow A$列向量与$B$列向量组等价。
（4）用$\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3$线性表示$\beta_1\beta_2\beta_3$的方法：$$\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \end{bmatrix} \longrightarrow 初等行变换 \longrightarrow \begin{bmatrix} 行最简形 \end{bmatrix}$$
第三题：
（1）部分与整体定理：$\begin{aligned} 整体无关 \Longrightarrow 部分无关 \\ 部分相关 \Longrightarrow 整体相关 \end{aligned}$
（2）一个向量与一个向量组定理：$\begin{cases} \alpha_1\alpha_2\alpha_3 无关 \\ \alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4相关 \end{cases} \Longrightarrow \alpha_4可由\alpha_1\alpha_2\alpha_3唯一线性表示$。
第四题：
第五题：
（1）$m$个$n$维向量$(m>n)$一定线性相关。
（2）$\alpha_1\alpha_2…\alpha_m$线性无关$\Longleftrightarrow x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + … + x_m\alpha_m=0$只有零解。
（3）$\alpha_1\alpha_2…\alpha_m$线性相关$\Longleftrightarrow x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + … + x_m\alpha_m=0$有非零解。
第六题：
（1）$\begin{bmatrix} A\alpha_1,A\alpha_2…A\alpha_s\end{bmatrix}=A(\alpha_1\alpha_2…\alpha_s)$
（2）矩阵越乘秩越小$\begin{aligned} r(AB) \le r(A) \\ r(AB) \le r(B) \end{aligned}$
（3）$r(\alpha_1\alpha_2…\alpha_s) < S,(\alpha_1\alpha_2…\alpha_s$线性相关)。
（4）根据题目选项进行判断。
第七题:
给定的都是三个三维列向量，因此需要判断的是行列式是否为零。
若$|A|=0 \Longrightarrow$线性相关。
若$|A|\not= 0 \Longrightarrow$线性无关。
第八题：
（1）针对一般矩阵
若$\alpha_1\alpha_2…\alpha_m$线性无关，且$\beta_1\beta_2…\beta_s=(\alpha_1\alpha_2…\alpha_m)P_{m\times s}$
若$r(P_{m\times s})=S$，则$\beta_1\beta_2…\beta_s$线性无关。
若$r(P_{m\times s})<S$，则$\beta_1\beta_2…\beta_s$线性相关。
（2）针对方阵
若$\alpha_1\alpha_2…\alpha_m$线性无关，且$\beta_1\beta_2…\beta_m=(\alpha_1\alpha_2…\alpha_m)P_{m\times m}$
若$|P|\not= 0$则$\beta_1\beta_2…\beta_m$线性无关；若$|P|=0$，则$\beta_1\beta_2…\beta_m$线性相关。
（3）含有零向量的向量组一定是线性相关的。
第九题：
（1）若$\alpha$是$A$的属于$\lambda$的特征向量，则$A\alpha=\lambda\alpha$且$\alpha\not= 0$。
（2）$A$的属于不同特征值的特征向量线性无关。
（3）用定义证明$\alpha_1\alpha_2…\alpha_m$线性无关的方法：$$设：k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0 \\ …$$最后得到$k_1=0,k_2=0,k_3=0$，则$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$线性无关。
（4）若3个3维列向量线性无关，则$\begin{bmatrix} \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \end{bmatrix}$是可逆矩阵。
（5）若$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$线性无关，则方程组$x_1 \alpha_1 +x_2 \alpha_2+x_3 \alpha_3=0$只有零解。
第十题：
（1）若列向量$\alpha$与$\beta$正交，则$\alpha^T\beta=0,\alpha\beta^T=0$。
（2）若列向量组$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$与列向量组$\beta_1\beta_2\beta_3$都正交。则$\begin{bmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \alpha_3^T\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1,\beta_2,\beta_3 \end{bmatrix}=0$
（3）若$A_{m\times n}B_{n\times s}=0，$则$r(A)+r(b)\le n$。两个矩阵乘积为零矩阵，那么它们矩阵秩的和一定不会超过相邻的下标$n$。
（4）若$r(\alpha_1\alpha_2…\alpha_m)<m$，则$\alpha_1\alpha_2…\alpha_m$线性相关；$r(\alpha_1\alpha_2…\alpha_m)=m$，则$\alpha_1\alpha_2…\alpha_m$线性相关。
第十一题：
第十二题：
第十三题：同十二题A选项。
第十四题：
A：利用反证法以及
一个向量与一个向量组定理：$\begin{cases} \alpha_1\alpha_2\alpha_3 无关 \\ \alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4相关 \end{cases} \Longrightarrow \alpha_4可由\alpha_1\alpha_2\alpha_3唯一线性表示$；同时任意一个向量可由其余向量唯一线性表示。
B：设$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$线性无关，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$是4个3维向量，故线性相关，与已知条件矛盾。
C：其次线性方程组$Ax=0$的任意一个解向量$\varphi$一定与$A$的行向量正交。
D：
（1）若列向量$\alpha$与$\beta$正交，则$\alpha^T\beta=0,\alpha\beta^T=0$。
（2）若$A_{m\times n}B_{n\times s}=0，$则$r(A)+r(b)\le n$。两个举证乘积为零举证，那么它们矩阵秩的和一定不会超过相邻的下标$n$。
第十五题：
第十六题：
若$A=\begin{bmatrix} \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 \end{bmatrix} \longrightarrow 经过初等行变换 \longrightarrow \begin{bmatrix} \beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4 \end{bmatrix}$
则：
①$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$线性无关$\Longleftrightarrow \beta_1\beta_2\beta_3$线性无关。
②$\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4$线性相关$\Longleftrightarrow \beta_1\beta_2\beta_3\beta_4$线性相关。
③$\alpha_1=2\alpha_2+3\alpha_3+4\alpha_4 \Longleftrightarrow \beta_1=2\beta_2+3\beta_3+4\beta_4$。
④$A$的行向量组与$B$的行向量组等价。
⑤$\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4$与$\beta_1\beta_2\beta_3\beta_4$不等价。
第十七题：
（1）$|A|=0 \Longleftrightarrow A$列（行）向量线性相关。
（2）若$r(A_{m\times n})=n$，则$r(AB)=r(B)$。
（3）若$r(B_{n\times s})=n$，则$r(AB)=r(A)$。
（4）$r(A_{m\times n})=n \Longleftrightarrow A$列向量线性无关。
（5）$r(B_{n\times s})=n \Longleftrightarrow B$列向量线性无关。
（6）"胖"方阵是不可逆矩阵，但"瘦"方阵不一定是 可逆矩阵。
第十八题：
（1）$\alpha_1\alpha_2…\alpha_s$与$\beta_1\beta_2…\beta_t$等价$\Longrightarrow r(\alpha_1\alpha_2…\alpha_s)=r(\beta_1\beta_2…\beta_t)$
（2）$A_{m\times n}$与$B_{m\times n}$等价$\Longleftrightarrow r(A_{m\times n})=r(B_{m\times n})$
（3）$\alpha_1\alpha_2…\alpha_s$与$\beta_1\beta_2…\beta_s$等价 $\Longrightarrow$矩阵$\begin{bmatrix} \alpha_1\alpha_2…\alpha_s \end{bmatrix}$与矩阵$\begin{bmatrix} \beta_1\beta_2…\beta_s \end{bmatrix}$等价
（4）$\alpha_1\alpha_2…\alpha_s$可由$\beta_1\beta_2…\beta_t$线性表示$\Longleftrightarrow r(\beta_1\beta_2…\beta_t)=r(\beta_1\beta_2…\beta_t\alpha_1\alpha_2…\alpha_s)$
（5）$\beta_1\beta_2…\beta_t$可由$\alpha_1\alpha_2…\alpha_s$线性表示$\Longleftrightarrow r(\alpha_1\alpha_2…\alpha_s)=r(\alpha_1\alpha_2…\alpha_s\beta_1\beta_2…\beta_t)$
（6）$\alpha_1\alpha_2…\alpha_s$与$\beta_1\beta_2…\beta_t$等价$\Longleftrightarrow r(\alpha_1\alpha_2…\alpha_s)=r(\beta_1\beta_2…\beta_t)=r(\alpha_1\alpha_2…\alpha_s\beta_1\beta_2…\beta_t)$
习题
| 题目 | 回答情况 |
|---|---|
| 第1题 | √ |
| 第2题 | x |
| 第3题 | √ |
| 第4题 | x |
| 第5题 | x |
| 第6题 | √ |
| 第7题 | x |
| 第8题 | √ |
| 第9题 | x |
| 第10题 | x |
| 第11题 | x |
| 第12题 | x |
| 第13题 | x |
| 第14题 | x |
| 第15题 | x |
总结
第一题：
第二题：
（1）$|A_3|\not= 0 \Longrightarrow A$的列向量组线性无关 。$r(A_3)=3$
（2）$|A_3|=0\Longrightarrow A$的列向量组线性相关。$r(A_3)<3$
（3）若3个3维列向量线性无关，则任意一个3维列向量都可以由它线性表示。
（4）若向量组$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$与$\beta_1\beta_2\beta_3$等价，则$r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=r(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$
（5）若向量组$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$与$\beta_1\beta_2\beta_3$不等价，则$r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\not= r(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$
（6）矩阵等价于向量组等价
- 矩阵等价$\Longleftrightarrow$两个矩阵具有相同的秩。
- 两个向量组$\alpha,\beta$等价$\Longleftrightarrow$向量组$\alpha,\beta$之间可以相互线性表示$\Longleftrightarrow \alpha$可以通过线性变换得到$\beta$，反之亦然$\Longleftrightarrow$两个向量组具有相同的秩且等于$R(\alpha,\beta)$。
第三题：
利用反证法的思路求证。
第四题：
（1）一个向量组$A$如果可以被另一个向量组$B$线性表示的话，那么$r(A)<r(B)$。
（2）向量组"臃肿性"，"紧凑"定理：$r=r(\alpha_1,…,\alpha_r) \le r(\beta_1,…,\beta_s) \le s$。
第五题：
（1）$|A_3|\not= 0 \Longleftrightarrow A_3$的列向量组可以线性表示任意3维列向量。
（2）$r(\alpha_1\alpha_2\alpha_3)=r(\alpha_1\alpha_2\alpha_3\beta_1\beta_2\beta_3) \Longleftrightarrow \beta_1\beta_2\beta_3$可由$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$线性表示。
（3）$r(\alpha_1\alpha_2\alpha_3)\not=r(\alpha_1\alpha_2\alpha_3\beta_1\beta_2\beta_3) \Longleftrightarrow \beta_1\beta_2\beta_3$不能被$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$线性表示。
第六题：
（1）针对矩阵
若$\alpha_1\alpha_2…\alpha_m$线性无关，且$\begin{bmatrix} \beta_1\beta_2…\beta_s \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha_1\alpha_2…\alpha_m \end{bmatrix}P_{m\times s}$
若$r(P_{m\times s})=s$，则$\beta_1\beta_2\beta_3$线性无关。
若$r(P_{m\times s})<s$，则$\beta_1\beta_2\beta_3$线性相关。
（2）针对方阵
若$\alpha_1\alpha_2…\alpha_m$线性无关，且$\beta_1\beta_2…\beta_m=\begin{bmatrix}\alpha_1\alpha_2…\alpha_m \end{bmatrix}P_{m\times m}$
若$|P|\not= 0$，则$\beta_1\beta_2…\beta_m$线性无关；若$|P|=0$，则$\beta_1\beta_2…\beta_m$线性相关。
第七题：
（1）若$A_{m\times n}B_{n\times s}=0$，则$r(A)+r(B)\le n$
（2）若$A\not= 0$，则$r(A)>0$
（3）$r(A_{m\times n})<n$，则$A_{m\times n}列向量组线性相关$。
（4）$r(A_{n\times s})<n$，则$A_{m\times n}行向量组线性相关$。
第八题：
向量组线性相关$\Longrightarrow$行列式为0
第九题：没有分情况讨论。
原理就是用线性代数的语言描述等式。
第十题：
（1）
$r(AB)\le r(B)$
$r(AB)\le r(A)$
（2）
若$|A| \not= 0$，则$r(AB)=r(B)$
若$|B| \not= 0$，则$r(AB)=r(A)$
（3）
若$A$列满秩，则$r(AB)=r(B)$
若$B$列满秩，则$r(AB)=r(A)$
第十一题：
（1）极大线性无关组：
假设有向量$\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4\alpha_5$
①$\alpha_1\alpha_2$线性无关。
②任意3个向量线性相关，则$\alpha_1\alpha_2$是一个极大物管组。
（2）向量组$\alpha_1\alpha_2…\alpha_m$的极大线性无关组所含向量个数称为该向量组的秩。
第十二题：
（1）通过计算我们可以知道向量组$\beta$的行列式必需为$0$，得到一个等式。
（2）若一个向量$\beta$能够被另一个向量组$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$线性表示的话，系数矩阵的秩就等于增广矩阵的秩$\Longrightarrow r(\alpha_1\alpha_2\alpha_3)=r(\alpha_1\alpha_2\alpha_3\beta)$
第十三题：
（1）$r(\alpha + \beta) \le r(\alpha) + r(\beta)$。
（2）矩阵越乘秩越小。
（3）$\alpha,\beta$线性相关$\Longrightarrow \beta=k\alpha 或者 \alpha=k\beta$。
第十四题：
可以的，挺基础的^ ^。
第十五题：
暂时不懂C选项。
第四章 线性方程组
例题
| 题目 | 回答情况 |
|---|---|
| 第1题 | |
| 第2题 | |
| 第3题 | |
| 第4题 | |
| 第5题 | |
| 第6题 | |
| 第7题 | |
| 第8题 | |
| 第9题 | |
| 第10题 | |
| 第11题 | |
| 第12题 | |
| 第13题 | |
| 第14题 | |
| 第15题 | |
| 第16题 | |
| 第17题 | |
| 第18题 | |
| 第19题 | |
| 第20题 | |
| 第21题 | |
| 第22题 | |
| 第23题 | |
| 第24题 | |
| 第25题 | |
| 第26题 | |
| 第27题 | |
| 第28题 | |
| 第29题 |
总结
第一题：
（1）由克莱姆法则知若$|A|=0\Longrightarrow Ax=\beta$有无穷多解或者无解。
（2）$a$的取值可能会使得$Ax=\beta$无解。
（3）$Ax=\beta$通解$\begin{cases} Ax=0的通解 \\ Ax=\beta的特解 \end{cases}$
第二题：
（1）$Ax=\beta$无解$\Longrightarrow |A|=0$。
（2）$Ax=\beta$无解$\Longrightarrow \begin{bmatrix} A,\beta \end{bmatrix}$这个增广矩阵存在一组矛盾方程。
（3）$A^TAx=A^T\beta$，其中$A^TA$就相当于3阶方阵，$A^T\beta$就相当于列向量。
第三题：
（1）
两个向量组等价
$\Longrightarrow$两个向量组之间能够相互线性表示
$\Longrightarrow r(A)=r(B)=r(A,B)$。
（2）讨论$A,B,[A,B]$之间的秩的关系。
（3）题目中说“将$\beta_3$用$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$线性表示”其实就是让我们求$Ax=\beta_3$的解向量。
第五题：
第一问：
由于全是平方项，要等于0$\Longrightarrow$各个部分都等于0。
第六题：
（1）数学归纳法。
（2）$|A|\not= 0 \Longrightarrow a\not= 0 \Longrightarrow Ax=b$有唯一解。
（3）方程组有无穷多解$\Longrightarrow a=0$。
第七题：
第八题：
（1）$AB=0 \Longrightarrow \begin{cases} r(A)+r(B)\le 3 \\ B的所有列向量都是Ax=0的解向量 \end{cases}$
（2）矩阵$A$为非零矩阵$\Longrightarrow |A|\not= 0$。
（3）分情况讨论$r(B)$的值，从而判断$r(A)$，进而知道通解有几个自由变量。
（4）自由变量必须线性相关。
第九题：同第八题知识点大致。
第十题：
（1）题目中求$A\zeta_2=\zeta_1$就是表示求$A$的解向量，类比一下$Ax=\beta$。
（2）判断向量组线性无关可以判断向量组的值是为0。
第十一题：
（1）抽象矩阵，抽象方程组的题目。
（2）$A_n$有$n$个不同的特征值$\Longrightarrow A_n$一定可以相似对角化。
第十二题：
第十三题：
求出$Ax=0$的基础解系中含有几个解向量。
由$\alpha_1=2\alpha_2-\alpha_3 \Longrightarrow \alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3+0\alpha_4=0$于是$(1,-2,1,0)^T$就是$Ax=0$的一个解。
第十四题：与13题类似。
第十五题：
（1）若$\zeta$是$A$的属于$\lambda$的特征向量$\Longrightarrow A\zeta=\lambda \zeta, \zeta\not= 0$。
（2）若$r(A_n)=1$，则$A_n$的特征值为$n-1$个$0$,$1$个$tr(A)$。
（3）属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。
（4）$A_nx=0$基础解系含有$n-r(A)$个解向量。
（5）$Ax=0$的非零解向量是$A$的属于$\lambda=0$的特征向量。
（6）$Ax=b$通解：$Ax=0$通解$+ Ax=b$特解。
第十六题：
第十七题：
第十八题：
（1）三秩相等定理，$r(A)=r(A的列向量)=r(A的行向量)$。
（2）若$A$可逆，则$A=P_1P_2…P_i$（$P_i$为初等矩阵）。
（3）$A\longrightarrow 列初等变换 \longrightarrow B \Longleftrightarrow AP=B$（$P$为初等矩阵）。
（4）$r(A_{m\times n})=m \Longrightarrow A_{m\times n}x=b$一定有解。
（5）若$AB=0$，则$B$列向量都是$Ax=0$的解向量。
（6）$Ax=0$只有零解$\Longleftrightarrow r(A_{m\times n})=n$。
第十九题：
（1）若$n>m$，则$A_{m\times n}x=0$一定有非零解。
（2）
$Ax=0$只有零解$\Longleftrightarrow r(A)=A$列数$\Longleftrightarrow r(A)\not= 0$。
$Ax=0$有非零解$\Longleftrightarrow r(A)< A$列数$\Longleftrightarrow r(A)= 0$。
（3）"胖矩阵"一定是降秩阵。$A_{4\times 3}B_{3\times 4}=C_{4\times 4}，C$一定是降秩阵。
（4）$r(A)=A$行数，则$Ax=b$一定有解。
（5）
若$Ax=b$有解，且$r(A)<A$列数，则$Ax=b$有无穷多组解。
因为行相当于约数条件，也就是方程个数；列等价于未知数个数；当列$>$行的时候，约束条件杀不死我的$x$个数，于是就有无穷多组解。
（6）$r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)$。
第二十一题：
（1）$Ax=0$与$Bx=0$的公共解就是$\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}x=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$的解。
（2）$A^TAx=A^Tb$有解。证明：$$r(A) = r(A^TA)\le r(A^TA,A^Tb)=r(A^T(A,b))\le r(A^T)=r(A)$$
第二十二题：
若$Ax=0$基础解系含有$t$个向量，则$Ax=\beta$有$t+1$线性无关解向量。
第二十三题：
（A）方程组$A_{n}x=0$的所有解向量都可以由一个向量线性表示，存在以下两种情况：①、$r(A_{n})=n$，②、$r(A_{n})=n-1$。
（B）$\zeta$是$A^{T}x=0$的解向量$\Longrightarrow \zeta$与$A^{T}$行向量正交$\Longrightarrow \zeta$与$A$列向量正交。
（D）
向量组线性无关定理：
向量组$\alpha_1,\alpha_2,…\alpha_m(m\ge 2)$线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不能由其他向量线性表示。
第二十四题：
tip：对于$\begin{bmatrix} A, B \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} E, A^{-1}B \end{bmatrix}$可以直接使得等式左边通过初等行变换变为单位矩阵$E$，右边就是$A^{-1}B$。类比于普通举证求逆的过程$\begin{bmatrix} A, E \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} E, A^{-1} \end{bmatrix}$
第二十五题：
$$\begin{aligned} AB & =E \\ A(\beta_1,\beta_2,\beta_3) & = (E_1, E_2, E_3)\end{aligned}$$
$$\Longrightarrow \begin{cases} A\beta_1=E_1 \\ A\beta_2=E_2 \\ A\beta_3=E_3 \end{cases}$$
进而转化为求三个解向量的问题$（Ax=b）$，然后在组合在一起。
第二十六题：方程之间有公共解，就将它们联立起来。
习题
| 题目 | 回答情况 |
|---|---|
| 第1题 | √ |
| 第2题 | x |
| 第3题 | √ |
| 第4题 | x |
| 第5题 | x |
| 第6题 | √ |
| 第7题 | x |
| 第8题 | √ |
| 第9题 | x |
| 第10题 | x |
| 第11题 | |
| 第12题 | |
| 第13题 | |
| 第14题 | |
| 第15题 | |
| 第16题 | |
| 第17题 | |
| 第18题 | |
| 第19题 | |
| 第20题 | |
| 第21题 | |
| 第22题 | |
| 第23题 | |
| 第24题 | |
| 第25题 | |
| 第26题 | |
| 第27题 | |
| 第28题 | |
| 第29题 | |
| 第30题 |
总结
第一题：因为有两不同的解$\Longrightarrow |A|=0$，求$|A|=0$得出$\lambda$，回带判断是否存在矛盾方程。紧接着不用在意$a$继续解答即可。
第二题：
直接把$C$设出来：设$C=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}$。
通过化简可以得到一个关系$x_1,x_2,x_3,x_4$的一个方程组。
第三题：由已知条件可以判断$a \in \Omega$，然后利用增广矩阵化为行最简形，由于不能出现矛盾方程，就会出现相应的等式，然后求解即可。
第四题：
方程有非零解$\Longrightarrow |A|=0$，求出$a$，然后再进行分类讨论。
要擅长化简行列式。
第五题：
（1）设$\eta_1,\eta_2,\eta_3$为$Ax=b$的三个线性无关解向量，则有$\eta_1 - \eta_2，\eta_1-\eta_3$是$Ax=0$的线性无关的解向量。
（2）$A_{n}x=0$共有$4-r(A)\ge 2\Longrightarrow r(A)\le 2$。
（3）若一个矩阵$A$的$n$阶子式的行列式的值$\not= 0 \Longrightarrow R(A) \ge n$
第七题：任意$n$维列向量都是$A_{m\times n}x=0$的解向量$\Longleftrightarrow A_{m\times n}=0$。
第八题：
$B=\beta^{T}\alpha=\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}=2$是一个数，$B^2=4$。
$A^2=\alpha\beta^{T}\alpha\beta^{T}=2\alpha\beta^{T}=2A$。
$A^4=8A$。
第九题：
（1）抽象齐次方程组问题，先找秩，然后判断方程组的个数，利用题目已知条件求出（拼凑出）$Ax=0$的解向量。
（2）$\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2$。
第十题：
（1）$A_nx=0$基础解系含有$n-R(A)$个向量。
（2）
（3）$R(A_n)<n \Longleftrightarrow |A|=0$。
（4）$A^*A=|A|E$。
（5）$A^*A=0 \Longleftrightarrow A$的所有列向量都是$A^*x=0$的解向量。
（6）$(1,0,1,0)^T$是$Ax=0$之解$\Longleftrightarrow x_1+x_3=0$。
（7）基础解系都是线性无关的。
第十二题：
（1）$Ax=\beta$通解$= \begin{cases} Ax=0 通解 \\ Ax=\beta 特解 \end{cases}$
（2）
若$\eta_i+\eta_j+\eta_k$是$Ax=\beta$的解
则$\eta_i-\eta_j$是$Ax=0$的解
$\frac{\eta_i+\eta_j+\eta_k}{3}$是$Ax=\beta$的解
$\frac{\eta_i+\eta_j}{2}$是$Ax=\beta$的解
（3）若$\eta_1+\eta_2+\eta_3$线性无关，则$\eta_2-\eta_1，\eta_3-\eta_1$线性无关。
第十三题：
$r(\begin{bmatrix} A & \alpha \\ \alpha^T & 0 \end{bmatrix})=r(A_n)\le n < n+1$。
第十五题：
（1）
（2）$\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4$是$Ax=b$的互不相同的解$\Longrightarrow Ax=b$有无穷多解$\Longrightarrow r(A)=r(A,b)<n $。
（3）$Ax=0$基础解系含有$n-R(A)$个解向量。
第十六题：
利用线性代数的语言描述矩阵等式
$n$阶矩阵$A$的各行元素之和均为零$\Longrightarrow A_n\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ … \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ … \\ 0 \end{bmatrix}$
第十七题：
（1）$Ax=\beta$通解$= \begin{cases} Ax=0 通解 \\ Ax=\beta 特解 \end{cases}$
（2）
若$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$是$Ax=b$的三个解向量
- 则$\frac{1}{k_1+k_2+k_3}(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3)$是$Ax=b$解向量。
- 若$C_1+C_2+C_3=0$，则$C_1\alpha_1+C_2\alpha_2+C_3\alpha_3$是$Ax=0$解向量。
（3）$A_nx=0$基础解系含有$n-r(A)$个解向量。
第十八题：同十七题。
第十九题：$Ax=\beta$通解$= \begin{cases} Ax=0 通解 \\ Ax=\beta 特解 \end{cases}$。
第二十一题：
（1）$A$是正交矩阵$\Longleftrightarrow A$列（行）向量组是两两正交的单位向量组。
（2）$A$是正交矩阵$\Longleftrightarrow A^TA=E （A^{-1}=A^T）$。
（3）$A$是正交矩阵$\Longrightarrow |A|=1$或$|A|=-1（|A| \not= 0）$。
第二十二题：
第二十三题：
第二十四题：
$Ax=b$有唯一解$\Longleftrightarrow r(A)=r(A,b)=A$列数。
$Ax=0$只有零解$\Longleftrightarrow r(A)=A$列数，相当于约束死了。
$Ax=b$有唯无穷多解$\Longleftrightarrow r(A)=r(A,b)< A$ 列数。
$Ax=0$有非零解$\Longleftrightarrow r(A)< A$ 列数，约束不死。
第二十六题：考虑秩。
第二十七题：矩阵经过初等变换不改变矩阵的秩。
第二十八题：两个方程组有公共解$\Longrightarrow$将两个方程联立解$Ax=b$的线性方程。
第二十九题：满足$x_1=x_2 \Longrightarrow x_1-x_2=0$是一个条件。
第三十题：
证明$Ax=0$与$A^TAx=0$同解。
（1）设$\Phi$是$Ax=0$的解，则$A\Phi=0$，用$A^T$左乘等式两端$A^TA\Phi=0$，于是$\Phi$也是$A^TAx=0$的解。
（2）设$\eta$是$A^TAx=0$的解，则$A^TA\eta=0$，用$\eta^T$左乘等式两端，有$\eta^TA^TA\eta=0 \Longrightarrow (A\eta)^T(A\eta)=0 \Longrightarrow ||A_n||^2=0 \Longrightarrow A\eta=0$，∴$\eta$也是$Ax=0$的解。
第三十一题：
①、③：
②、④：不能由前面推出后面。
第三十二题：
（1）若$A\longrightarrow 初等行变换 \longrightarrow B$，则$Ax=0$的解和$Bx=0$同解。
（2）$Ax=0$与$Bx=0$同解为$r(A)=r(B)=r(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix})=r(A^T,B^T)$。
第五章 特征值与特征向量
例题
| 题目 | 回答情况 |
|---|---|
| 第1题 | |
| 第2题 | |
| 第3题 | |
| 第4题 | |
| 第5题 | |
| 第6题 | |
| 第7题 | |
| 第8题 | |
| 第9题 | |
| 第10题 | |
| 第11题 | |
| 第12题 | |
| 第13题 | |
| 第14题 | |
| 第15题 | |
| 第16题 | |
| 第17题 | |
| 第18题 | |
| 第19题 | |
| 第20题 |
总结
第一题
矩阵相似对角化的过程
（1）第一步：求出$n$阶矩阵$A$的$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n$。
（2）求出$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n$对应的$n$个特征向量$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$
于是有$A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1，A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2，…，A\alpha_n=\lambda_n\alpha_n$
$(A\alpha_1,A\alpha_2,…,A\alpha_n)=(\lambda_1\alpha_1,\lambda_2\alpha_2,…,\lambda_n\alpha_n)$
$A(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n) \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$
第二题：
矩阵仅有两个不同的特征值$\Longrightarrow$直接求出所有特征值，发现与$a$无关，接下来通过讨论$b$的值而确定$a$的值然后再求$P$矩阵。
矩阵相似对角化的过程可看第一题。
第三题：
（1）矩阵相似对角化的过程可看第一题。
（2）若$P_1,P_2$是$A$属于$\lambda_0$的特征向量，则$k_1P_1+k_2P_2$（$k_1,k_2$不同时为空）也是$A$的属于$\lambda_0$的特征向量。
（3）
若$P_1$是$A$的属于$\lambda_1$的特征向量
$P_2$是$A$的属于$\lambda_2$的特征向量
且$\lambda_1\not= \lambda_2$
则$P_1+P_2$不是$A$的特征向量。
第四题：
（1）$AB=0\Longrightarrow R(A)+R(B)\ge n$
（2）$R(A+B)\ge R(A)+R(B)$
（3）$R(kA)=R(A),(k\not= 0)$
（4）$R(E_n)=n$
（5）若$(A-aE)(A-bE)=0$，且$a\not= b$，则$A_n$可相似对角化。
（6）若$R(A_n)=n-1$，且$A$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_3$，则$A^*$的特征值为$0,0,…,0,\displaystyle\sum_{i=1}^{b-1}\lambda_i$
第五题：
（1）若$A$与$B$相似，则$A$与$B$有相同的特征值
（2）若$\lambda$是$A$的特征值，$\alpha$是$A$的特征向量$(A\alpha=\lambda\alpha,\alpha \not= 0)$，则：
- $f(\lambda)$是$f(A)$的特征值
- $\alpha$是$f(A)$的特征向量
- $\frac{|A|}{\lambda}$是$A^*$特征值
- $\alpha$是$A^*$的特征向量
（3）对于一个实对称矩阵不同特征值的特征向量是正交的，所以单根的特征向量就是重根对应的多项式矩阵的任何一行或一列。
例：假设$A$是一个实对称矩阵，特征值分别为$\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=7$。$\lambda_1和\lambda_2$对应的特征多项式矩阵为$A-E=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，那么$\lambda_3=7$时对应的特征向量就是特征多项式的第一行，于是$\lambda_3$的特征向量就是$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。
第六题：
（1）$r(A)<n\Rightarrow |A|=0\Rightarrow 0$是$A$的特征值。
（2）
关于特征值的几何重数和代数重数。
- 特征值的代数重数：若$\lambda_0$是矩阵$A$的$m$重特征值，则称$m$为特征值$\lambda_0$的代数重数。
- 特征值的几何重数：若齐次线性方程组$(A-\lambda_{0}E)x=0$基础解系所含解向量的个数为$t$，则称$t$为特征值$\lambda_0$的集合重数。
例如矩阵$A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$的特征值为$\lambda_1=\lambda_2=3,\lambda_3=2$，当$\lambda_1=\lambda_2=3$时，解方程组$(A-3E)x=0$，解得基础解系为$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$，说明特征值3的代数重数是2，几何重数是1，此时，代数重数大于几何重数。（3）若矩阵$A$代数重数$\ge$几何重数$\Longrightarrow$至少有$n-r(A)$个特征值为$0：\lambda_1=\lambda_2=…=\lambda_{n-1}=0$。
（4）$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$
（5）若$A$找不到$n$个线性无关的特征向量$\Longrightarrow A$不能相似对角化。
第七题：
证明向量组线性无关的方法之一：
假设有$k_1\lambda_1 +k_2\lambda_2 +k_3\lambda_3=0$，若$k_1=k_2=k_3=0$，只有唯一解，那么$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$线性无关。
第八题：
判断两个矩阵是否相似
（1）$A$与$B$有相同特征值
（2）$A$与$B$都能相似对角化
则$A$与$B$相似，也就是$A$与$B$与对角阵$\begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix}$
第九题：
（1）
$A_n$可以相似对角化的充要条件
- $A$有$n$个线性无关特征向量
- $A$的所有特征值的集合重数都等于代数重数
（2）三角矩阵的特征值为主对角线上元素的值
（3）$A_nx=0$基础解系有$n-r(A)$个解向量
第十题：
注意$E$是个变色龙，$E=PEP^{-1}$。
第十一题：求出二重根，分类讨论$a$的值，然后求相似对角化。
第十二题：
解决高次幂可以使用对角矩阵转化的方法：若$A$相似与对角矩阵$\wedge$，即存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\wedge$，则$A=P\wedge P^{-1}\Longrightarrow A^n=P\wedge^nP^{-1}$。
第十三题：
（1）矩阵相似$\Longleftrightarrow |A|=|B|,tr(A)=tr(B)$。
（2）对于可逆矩阵$P$答案不唯一，因为在过程中由于特征向量选取不同会导致$P$的值也不同，反正最后能够使得$P^{-1}AP=B$这个式子成立即可。
第十五题：
（1）$A_n$可以相似对角化$\Longleftrightarrow A_n$有$n$个线性无关的特征向量。
（2）实对称矩阵一定能相似对角化
（3）若$r(A_n)=1$，则$A$的特征值为$n-1$个$0$，1个$tr(A)$
（4）$r(AB)\le R(A)$
（5）$R(非零向量)=1$
（6）若$f(A)=0$，则$A$的特征值只能在方程$f(\lambda)=0$的根中选取。
（7）$tr(\alpha\beta^{T})=\alpha^T\beta$
（8）$R(A+B)\le R(A)+R(B)$
（9）若$A_nB_n=0_n$，则$R(A)+R(B)\le n$
（10）$r(kA)=R(A)$
（11）$R(E_n)=n$
（12）若有$(A_n-aE)(A_n-bE)=0(a\not= b)$，则$A$可相似对角化。
第十七题：
（1）$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$线性相关形象定理：至少存在一个向量可由其余向量线性表示。
（2）$\alpha_1,\alpha_2$线性相关$\Longrightarrow \alpha_2=k\alpha_1(\alpha_1\not= 0)$
（3）
$|P|\not= 0 \Longrightarrow P$可逆矩阵$\Longrightarrow P$列向量线性无关。
$|P|= 0 \Longrightarrow P$不可逆矩阵$\Longrightarrow P$列向量线性相关。
（4）$A\alpha=k\alpha (\alpha\not= 0)\Longrightarrow \alpha$是$A$的属于$k$的特征向量。
（5）
向量组与向量组的转化
若存在两个向量组$\begin{bmatrix} A\alpha & 6\alpha-A\alpha \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} \alpha & A\alpha \end{bmatrix}$
$\Longrightarrow \begin{bmatrix} A\alpha & 6\alpha-A\alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha & A\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$
（6）相似对角化：若存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP=\wedge$（对角阵），有的矩阵可以，有的矩阵不可以。
（7）矩阵$A_n$可以相似对角化$\Longleftrightarrow A_n$有$n$个线性无关特征向量$\Longleftarrow A_n$有$n$个互不相等的特征值。
（8）求矩阵的特征值。
（9）矩阵相似具有传递性，若$A$与$B$相似，$B$与$C$相似，则$A$与$C$也相似。
（10）
反证法：
使用条件：…不是…，…不可…
假设所要证明的逆命题正确
$\ldots$
得出于定理，公理，已知条件矛盾结论。则假设错误，于是原命题正确。
第十八题：
（1）
若$A$的各行元素之和均为$k$
则有$A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \ldots \\ 1 \end{bmatrix}=k\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \ldots \\ 1 \end{bmatrix}$
则有$k$是$A$的特征值，所对应特征向量为$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \ldots \\ 1 \end{bmatrix}$
（2）$Ax=0$的非零解向量为$A$属于特征值$0$的特征向量。
第十九题：
（1）若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
（2）若$B$为实对称阵$(B^T=B)$，则属于不同特征值的特征向量是正交（垂直）的。
第二十题：
（1）若$B$为实对称阵$(B^T=B)$，则属于不同特征值的特征向量是正交（垂直）的。
（2）正交矩阵必须单位化。
（3）$BA^{-1}$求法：
$\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} \longrightarrow 初等列变换 \longrightarrow \begin{bmatrix} E \\ BA^{-1} \end{bmatrix}$
习题
| 题目 | 回答情况 |
|---|---|
| 第1题 | |
| 第2题 | |
| 第3题 | |
| 第4题 | |
| 第5题 | |
| 第6题 | |
| 第7题 | |
| 第8题 | |
| 第9题 | |
| 第10题 | |
| 第11题 | |
| 第12题 | |
| 第13题 | |
| 第14题 | |
| 第15题 | |
| 第16题 | |
| 第17题 | |
| 第18题 | |
| 第19题 | |
| 第20题 | |
| 第21题 | |
| 第22题 | |
| 第23题 | |
| 第24题 | |
| 第25题 | |
| 第26题 |
总结
第二题：
（1）$A_n$可以相似对角化$\Longleftarrow A_n$有$n$个互不相等的特征值。
（2）$A_n$可以相似对角化$\Longleftrightarrow A_n$有$n$个线性无关的特征向量。
（3）若$A$是实对称矩阵，则$A$的属于不同特征值的特征向量正交。
（4）$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$线性无关$\Longrightarrow \alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$两两线性无关。
第七题：
矩阵相似对角化的过程
（1）第一步：求出$n$阶矩阵$A$的$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n$。
（2）求出$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n$对应的$n$个特征向量$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$
于是有$A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1，A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2，…，A\alpha_n=\lambda_n\alpha_n$
$(A\alpha_1,A\alpha_2,…,A\alpha_n)=(\lambda_1\alpha_1,\lambda_2\alpha_2,…,\lambda_n\alpha_n)$
$A(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n)=\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$
第八题：
第九题：
（1）若$A$与$B$相似，则$A$与$B$有相同的特征值。
（2）
若$A$与$B$相似，则$A$与$B$的每一个特征值的集合重数都相同。
例：假设$A$的特征值为$1,2,2$，所对应的特征向量$\lambda_1=1$的特征向量为$P_1$，$\lambda_2=\lambda_3=2$的特征向量为$P_2,P_3$，为二重特征向量。
假设$B$的特征值为$1,2,2$，所对应的特征向量$\lambda_1=1$的特征向量为$P_1$，$\lambda_2=\lambda_3=2$的特征向量为$P_2$，为一重特征向量。
此时$A$与$B$不相似。
（3）三角矩阵的特征值就是主对角线上的元素。
（4）$Ax=0$的基础解系含有$n-r(A)$个解向量。
第十题：
（1）若$\alpha,\beta$为$n$维列向量，则$\alpha\beta^T$的特征值为$n-1$个$0$和$tr(\alpha\beta^T)=\alpha^T\beta$。
（2）若$A$与$B$相似，则$A$与$B$有相同的特征值。
第十一题：
若$A$能相似对角化可以得出以下结论：
（1）$A$有$n$个线性无关的特征向量。
（2）$n$的每一个特征值的几何重数都等于其代数重数。
以下条件可以推出矩阵$A$可以相似对角化。
（1）若$n$解矩阵$A$有$n$个互不相等的特征值，则$A$可以相似对角化。
（2）$n$阶实对称矩阵$A$一定可以对角化。
第十二题：
若$A$与$B$相似
（1）相似则等价
（2）相似则等秩
（3）相似则特征值相等
（4）相似则行列式相等
（5）相似则迹$tr$相等
第十四题：若$A$可以相似对角化$\Longrightarrow A$的$n$重特征值对应$n$个线性无关的特征向量。
第十五题：
（1）若$\alpha$是$A$属于$\lambda$的特征向量，则$A\alpha=\lambda\alpha$，且$\alpha \not= 0$。
（2）$A$的属于不同特征值的特征向量线性无关。
（3）
用定义证明$\alpha_1\alpha_2\alpha_3$线性无关的方法：
设$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0$
$…$
最后得到$k_1=0,k_2=0,k_3=0$，则$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关。
（4）若3个3为列向量线性无关，则$\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{bmatrix}$是可逆矩阵。
（5）若$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=0$只有零解。
第十六题：
（1）若$A$与$B$相似，则$A$和$B$有相同的特征值。
（2）若$A$可以相似对角化，则$R(A)$可以由$A$的非零特征值的个数来确定，$R(A)=A的非零特征值的个数$。
（3）实对称矩阵一定可以相似对角化。
（4）若$A$可以相似对角化，则$A+kE$也可以相似对角化。
第十七题：
（1）若$A^2+A-2E=0$，则$A$的特征值在$x^2+x-2=0$的根中选取。
（2）$|A_3|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3$
（3）若$\lambda$是$A$的特征值$(\lambda \not= 0)$，则$\frac{|A|}{\lambda}$是$A^*$的特征值。
（4）$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
第十八题：
（1）特征值几何重数$\le$代数重数。
（2）若$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，则$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=0$只有零解：$k_1=0,k_2=0$。
（3）$|A_2|=\lambda_1\lambda_2$。
（4）若$\alpha$是$A$属于$\lambda$的特征向量，则$A\alpha=\lambda\alpha$。
第十九题：
（1）实对称矩阵一定可以相似对角化。
（2）若$A$可以相似对角化，则$R(A)=A$的非零特征值的个数。
（3）若$f(A)=0$，则$A$的特征值只能在方程$f(x)=0$的根中选取。
第二十一题：
将$a$视作常数，然后计算，不用想复杂了。
第二十二题：
（1）$A$的每一行元素之和都等于$a$，则$A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \ddots \\ 1 \end{bmatrix}=a\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \ddots \\ 1 \end{bmatrix}$，$a$是$A$的特征值，$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \ddots \\ 1 \end{bmatrix}$是$A$的属于$a$的特征向量。
（2）$R(A_n-kE)<n \Longleftrightarrow |A-kE|=0$
（3）$|A-kE|=0=0\Longleftrightarrow k$是$A$的特征值。
（4）若$\alpha$是$A$的特征向量，则$k\alpha（k\not=0）$也是$A$的特征向量。
（5）属于实对称阵不同特征值的特征向量正交。
（6）特征值几何重数$\le$代数重数。
（7）对于实对称阵，它的所有几何重数$=$代数重数。
第二十三题：
（1）若$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，且$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0$，则$Ax=0$有一个解向量为$\begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{bmatrix}$。
（2）若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
（3）若$\alpha$是$A$的特征向量，则$\alpha$也是$f(A)$的特征向量。
（4）实对称阵的属于不同特征值的特征向量正交。
第二十四题：
（1）
矩阵相似对角化的过程
（1）第一步：求出$n$阶矩阵$A$的$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n$。
（2）求出$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n$对应的$n$个特征向量$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$
于是有$A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1，A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2，…，A\alpha_n=\lambda_n\alpha_n$
$(A\alpha_1,A\alpha_2,…,A\alpha_n)=(\lambda_1\alpha_1,\lambda_2\alpha_2,…,\lambda_n\alpha_n)$
$A(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n)=\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$
（2）若$\alpha$是$A$的特征向量，则$k\alpha$一定也是$A$的特征向量$（k\not=0）$。
（3）若$\alpha_1,\alpha_2$是$A$的属于$\lambda_1=5$的特征向量，则$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2（k_1,k_2不同时为零）$一定也是$A$的属于$\lambda_1=5$的特征向量。
（4）若$\alpha_1,\alpha_2$是$A$的属于不同特征值$\alpha_1,\alpha_2$的特征向量，则$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2（k_1\not=0且k_2\not=0）$一定不是$A$的特征向量。
（5）
有$\begin{bmatrix} \alpha_2-\alpha_3,\alpha_3+\alpha_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha_2,\alpha_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$。
若$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$可逆，则$\begin{bmatrix} \alpha_2-\alpha_3,\alpha_3+\alpha_2 \end{bmatrix}$线性无关。
第二十五题：
（1）若$A_n(A_n-2E_n)=0$，则$r(A)+r(A-2E)=n$。
证明：
$$\begin{aligned} & \because A(A-2E)=0 \therefore r(A)+r(A-2E)\le n \\ & \because r(A)+r(A-2E)=r(A)+r(2E-A)\ge r(A+2E-A)=n
\\ & \therefore r(A)+r(A-2E)=n \\ 结论：& 若(A_n+k_1E)(A_n+k_2E)=0,k_1\not=k_2，则r(A_n+k_1E)+r(A_n+k_2E)=n \end{aligned}$$
（2）
$r(A_n)<n\Longleftrightarrow |A_n|=0$。
$|A_n|=0\Longleftrightarrow 0$是$A$的特征值。
（3）
$Ax=0$非零解向量是$A$的属于$\lambda=0$的特征值。
$(A-2E)x=0$非零解向量是$A$的属于$\lambda=2$的特征值。
（4）$A$的特征值的代数重数$\ge$几何重数。
（5）若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
（6）$A_nx=0$的基础解系共有$n-r(A)$个解向量。
（7）$|A_n|=\lambda_1\lambda_2…\lambda_n$。
（8）$A_n$有$n$个解向量。
第二十六题：
（1）若$A_3$有3个互不相同的特征值$\lambda_1\lambda_2\lambda_3$，则$A$一定可以与对角阵$\wedge$相似，$\wedge=\begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix}$。
（2）若$A_3$与三阶对角阵$\wedge=\begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix}$相似，则$A_3$的特征值就是$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$。
（3）若$A$为实对称矩阵，则一定存在正交矩阵使得$Q^TAQ=\wedge$。
第六章 二次型
例题
| 题目 | 回答情况 |
|---|---|
| 第1题 | |
| 第2题 | |
| 第3题 | |
| 第4题 | |
| 第5题 | |
| 第6题 | |
| 第7题 | |
| 第8题 | |
| 第9题 | |
| 第10题 | |
| 第11题 | |
| 第12题 | |
| 第13题 | |
| 第14题 | |
| 第15题 | |
| 第16题 | |
| 第17题 | |
| 第18题 | |
| 第19题 | |
| 第20题 | |
| 第21题 | |
| 第22题 | |
| 第23题 |
总结
第一题：
（1）若$f(A)=0$，则$A$的特征值在$f(\lambda)=0$的根中选取。
例：
$$\begin{aligned}A^2-A-6E&=0 \\ (A-3E)(A+2E)&=0 \\ (\lambda-3)(\lambda+2)&=0 \longrightarrow \lambda_1=3,\lambda_2=-2 \\ 特征值只能在&-2,3中选取 \end{aligned}$$
（2）$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n=|A_n|$。
（3）二次型$f=x^TAx$总可以经过正交变换$x=py$化为标准形式额二次型$f=y^T\wedge y$。
（4）标准的二次型$f=y^T\wedge y$总可以经过可逆变换$y=Cz$化为规范形$f=Z^T \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & -1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 0 \end{bmatrix}Z$，也就是对角阵上只有$0,-1,1$三种情况。
第二题：
掌握相似对角化的过程。
第三题：
（1）若$\alpha=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}，\beta=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$，则$\alpha^T\beta=\beta^T\alpha=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$（向量内积）。
（2）若列向量$\alpha$与$\beta$正交，则$\alpha^T\beta=\beta^T\alpha=0$。
（3）若列向量$\alpha$是单位向量，则$\alpha^T\alpha=1$。
（4）若$A_n\alpha=k\alpha$，列向量$\alpha\not=0$，则$k$是$A$的特征值。
（5）若$\alpha$为列向量，则$R(\alpha\alpha^T)\le R(\alpha) \le 1$。
（6）$R(A+B)\le R(A)+R(B)$。
（7）若$R(A_n)<n$，则$|A|=0$。
（8）若$|A|=0$，则$0$是$A$的特征值。
（9）若二次型矩阵$A_3$的特征值是$a,b,c$，则$x^TAx$在正交变换下的标准型是$ay_1^2+by_2^2+cy_3^2$。
第五题：
（1）二次型$x^TAx$的秩就等于$A$的秩。
（2）若$R(A_3)=1$，则$A$的特征值为$0,0,\lambda_3$。
（3）
若$A_3$的各行元素之和均为$k$，
则有$A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}=k\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
则有$k$是$A$的特征值，$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$是$A$属于$k$的特征向量。
（4）若二次型矩阵$A_3$的特征值是$a,b,c$，则$x^TAx$在正交变换下的标准型是$ay_1^2+by_2^2+cy_3^2$。
第六题：
惯性定理：对于一个二次型$f(x_1,x_2,…,x_n)=x^TAx$，无论用怎样的可逆线性变换使它化为标准型，其中的正惯性指数，负惯性指数一定都是唯一确定的。
第十四题：
（1）$R(A^TA)=R(A)=R(A^T)$。
（2）二次型的正交变换问题。
第十五题：
（1）
"ab"矩阵的秩
$A=\begin{bmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{bmatrix}$，当$\begin{cases} a=b\not=0\rightarrow R(A)=1 \\ 2b+a=0,a\not=0\rightarrow R(A)=2 \end{cases}$
（2）若$P$可逆，$P^TAP=B$，表示$A$与$(B)$合同，则$R(A)=R$。
（3）同一个二次型其规范形式唯一的形式。
第十八题：
（1）若$A$为实对称矩阵，则属于不同特征值的特征向量正交。
（2）若$A$为实对称矩阵，且$\lambda$是$A$的$k$重特征值，则$A$的属于$\lambda$的线性无关的特征向量有$k$个，几何重数$=$代数重数。
（3）若$\lambda$是$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
（4）若对称矩阵$A$的所有特征值都为正，则$A$正定。
第十九题：
（1）同阶对称矩阵$A$与$B$有相同的正、负惯性指数，则$A$与$B$合同。
（2）二阶"ab"矩阵特征值：$A=\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$的特征值为：$a-b,a+b$。
第二十题：
（1）
$A$与$B$相似：$P^{-1}AP=B$（$P$可逆）。
$A$与$B$相似：$P^{T}AP=B$（$P$可逆）。
（2）
判定方法：
若$A$与$B$有相同的特征值，且$A$与$B$都能相似对角化，则$A$与$B$相似。
$A$与$B$特征值的正负个数相同 $\Longleftrightarrow A$与$B$有相同的正负惯性指数$\Longleftrightarrow A$与$B$合同。
（3）对于"ab"矩阵$A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$
可以看主对角线减几与其余元素相同：$2-3=-1$
故$\lambda_1=\lambda_2=3$
又根据$tr(A)=2+2+2=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\Longrightarrow \lambda_3=0$。
第二十三题：
（1）$\alpha$为单位列向量$\Longleftrightarrow \alpha^T\beta=0$。
（2）列向量$\alpha$与$\beta$正交$\Longleftrightarrow \alpha^T\beta=0$。
（3）$A\alpha=2\alpha,\alpha \not=0，\alpha $是$A$的属于$2$的特征向量。
（4）三角矩阵的特征值为对角线上元素。
（5）"ab"矩阵的特征值$n-1$个$a-b$，1个（列和）$(n-1)b+a$。
（7）$R(A)+R(B)\ge R(A+B)$。
（8）$R(A)=R(kA),k\not= 0$。
（9）$R(AB)\le R(A)$。
（10）
$R(A_{m\times n})\le m$
$R(A_{m\times n})\le n$
R(非零向量)=1。
（11）$R(A_n)<n\Longleftrightarrow |A_n|=0$。
（12）$|A|=0\Longleftrightarrow 0$是$A$的特征值。
（6）☆若$A,B$都为对称阵，则$A$与$B$有相同的正、负惯性指数（特征值）$\Longleftrightarrow A$与$B$合同。
习题
| 题目 | 回答情况 |
|---|---|
| 第1题 | |
| 第2题 | |
| 第3题 | |
| 第4题 | |
| 第5题 | |
| 第6题 | |
| 第7题 | |
| 第8题 | |
| 第9题 | |
| 第10题 | |
| 第11题 |
总结
第四题：
针对带参数的具体矩阵一般用顺序主子式为正来判断正定性 。
例：矩阵$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 1 \end{bmatrix}$。
它的一阶顺序主子式为$|2|>0$
二阶顺序主子式$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=2-1=1>0$
三阶顺序主子式$|A|=1-\frac{1}{2}t^2>0$
故如果二次型为正定，那么它的三阶顺序主子式的行列式就必须大于0$\Longrightarrow -\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$。
