不定积分-换元法-分部积分
换元法
换元法最重要的作用就是"打开局面"。在做积分题时，只需我们选择恰当的换元，就可以将复杂的积分变得非常简洁，尤其是在处理有根式的积分时，常常会使用换元法。
(1) 整体换元
被积函数中出现"$\sqrt{一次函数}，\sqrt{\frac{一次函数}{一次函数}}，\sqrt{e^{ax} + b}，\frac{e^{ax} + b}{e^{ax} - b}$"可以直接将整个根号令为$t$，达到去掉根号的效果！
(当然，该方法虽然一定可行，但不一定是最快的方法，所以也需要具体问题具体分析)
例1
$\int\sqrt{\frac{x}{1 + x}}dx$
[解]：
$$令\sqrt{\frac{x}{1 + x}} = t \Rightarrow I = \int td\frac{1}{1 - t^2}$$
$$分部积分 \Rightarrow \frac{t}{1 - t^2} - \int\frac{1}{1 - t^2}dt$$
$$= \ \frac{t}{1 - t^2} + \int\frac{1}{t^2 - 1}dt$$ ...
不定积分--三角函数的积分
套路二 三角有理函数的积分
引言
以$R(u,v)$表示由$u,v$及常数经过有限次的四则运算得到的二次函数。而$R(\sin{x}, \cos{x})$则称为三角有理函数，比如$y = \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \ \ \ y = \frac{1}{1 + \cos{x}} \ \ \ y = \frac{1}{(\sin{x} + \cos{x})^2}$这些都属于三角有理函数。
而一切的三角有理函数，都可以用过换元$\tan{\frac{x}{2}} = t(万能公式)$化为有理函数，而有理函数的积分，在套路一中已经解决过了，所以，“从理论上来说”，一切的三角有理函数的积分，其实也已经解决了。
但是！万能的方法，不一定是最好的方法。很多三角有理函数的积分，如果盲目的使用万能公式，$\tan{\frac{x}{2}} = t$，则计算量会特别大，所以我们需要具体问题具体分析，找到每一个题目的特殊解法！
(一) 万能公式换元法，令$\tan{\frac{x}{2}} = t$
对于$\int R(\sin{x}, \cos{x})dx$，只需令$\tan ...
不定积分--有理函数的积分
套路一 有理函数的积分 ($\int \frac{多项式}{多项式}dx)$
(一)有理函数积分的通项方法——裂项$ \ $+$ \ $待定系数
$ \ \ $有理函数从宏观上可分为真分式（分母为最高次项）和假分式（分子为最高次项），而任意一个假分式都可以通过多项式除法变成多项式与真分式之和。由于多项式的积分是简单的，所以解决有理函数函数的积分。本质上就变成了解决有理真分式的积分。而对于真分式的积分，我们有如下固定套路——
将该真分式的分母进行因式分解（一直分解到无法再分解为止）
然后进行裂项，裂项的原则如下——
①只需分母中含有$(x \ - \ a)^{k}$，则裂项后的式子中一定含有$\frac{A_1}{x \ - \ a} \ + \ \frac{A_2}{(x \ - \ a)^2} \ + \ … \ + \frac{A_k}{(x \ - \ a)^{k}}$
②只需要分母中含有$(x^2 \ + \ px \ + \ q)^k$（注：因为已经分解到"不能再分解"了，所以这里的$p^2 \ - 4q \ < \ 0$），则裂项后的式子 ...
常用库函数
常用库函数
声明
都存在#include <algorithm>这个库中
reverse翻转
翻转一个vector：
1reverse(a.begin(), a.end());
翻转一个数组，元素存放在下标1 ~ n：
1reverse(a + 1, a + n + 1);
unique去重
返回去重（只去掉相邻的相同元素）之后的为迭代器（或指针），仍然为前闭后开，即这个迭代器是去重之后末尾元素的下一个位置。该函数常用于离散化，利用迭代器（或指针）的减法，可计算出去重后的元素个数。
去重一个vector
123456// a: 5 5 4 1 2 2 3int m = unique(a.begin(), a.end()) - a.begin();cout << m << endl;// m = 5for(int t : a) cout << t << " ";// a: 5 4 1 2 3 2 3
去重一个数组，元素存放在下标1 ~ n：
1234567int a[8] = {10, 5, 5, ...
浅谈位运算
位运算
C++ 几种常用位运算简介
按位与 a & b (AND)
法则：两者相同位都为$1$，则结果中改为为$1$；否则结果中改位为$0$
1234例： 12 & 6 = 4 12: 1 1 0 0 6: 0 1 1 0 4: 0 1 0 0
按位或 a | b (OR)
法则：两者相同位中有一个为$1$，则结果中该位为$1$；否则结果中该位为$0$
1234例： 12 & 6 = 14 12: 1 1 0 0 6: 0 1 1 0 14: 1 1 1 0
按位异或 a ^ b (XOR)
法则：两者相同位的值若不同，则结果中该位为$1$；否则结果中该位为$0$
1234例： 12 & 6 = 10 12: 1 1 0 0 6: 0 1 1 0 4: 1 0 1 0
按位取反~a (NOT)
法则：该书中$0$的位置变为$1$，$1$的位置变为$0$
1234例： 12: 1 1 0 0 ~12: 0 0 1 1
按位左移 a << b
法则：将该数$a$左移$b$位，正数左移变为正数，负数左移变为负 ...
浅谈STL
vector
声明
12345#include <vector> // 头文件vector<int> a; // 相当于一个长度动态变化的int数组vector<int> b[233]; // 相当于第一维长233，第二位长度动态变化的int数组struct rec{…};vector<rec> c; // 自定义的结构体类型也可以保存在vector中
size/empty
size函数返回vector的实际长度（也就是包含的元素个数），empty函数返回一个bool类型，表明vector是否为空。二者的时间复杂度都是$O(1)$。
所有的STL容器都支持这两个方法，含义也相同，后续我们就不在重复给出了。
clear
clear函数把vector清空。
迭代器
迭代器就好像STL容器的"指针"，可以用星号*操作符解除引用。
一个保存int的vector的迭代器声明方法为：
1vector<int>::iterator it;
vector的迭代器是"随机 ...
泰勒公式
等价无穷小的泰勒公式（x -> 0）
$$\sin{x} \ = \ x \ - \ \frac{x^3}{3!} \ + \ o(x^3)$$
$ \ $
$$\cos{x} \ = \ 1 \ - \ \frac{x^2}{2!} \ + \ \frac{x^4}{4!} \ + \ o(x^4)$$
$ \ $
$$\arcsin{x} \ = \ x \ + \ \frac{x^3}{3!} \ + \ o(x^3)$$
$ \ $
$$\tan{x} \ = \ x \ + \ \frac{x^3}{3} + \ o(x^3)$$
$ \ $
$$\arctan{x} \ = \ x \ - \ \frac{x^3}{3} \ + \ o(x^3)$$
$ \ $
$$\ln(1 \ + \ x) \ = \ x \ - \ \frac{x^2}{2} \ + \ \frac{x^3}{3} \ + \ o(x^3)$$
$ \ $
$$e^x \ = \ 1 \ + \ x \ + \ \frac{x^2}{2!} \ + \ \frac{x^3}{3!} \ + \ ...
等价无穷小公式
等价无穷小
当 △ —> 0 时
$$\sin{△} \ \sim \ △$$
$ \ $
$$\tan{△} \ \sim \ △$$
$ \ $
$$\ln{(1 \ + \ △)} \ \sim \ △$$
$ \ $
$$e^{△} \ - \ 1 \ \sim \ △$$
$ \ $
$$\arcsin{△} \ \sim \ △$$
$ \ $
$$\arctan{△} \ \sim \ △$$
$ \ $
$$\log_a{(1 \ + \ △)} \ \sim \ \frac{△}{\ln{a}}$$
$ \ $
$$a^{△} \ - \ 1 \ \sim \ △\ln{a}$$
$ \ $
$$1 \ - \ \cos{△} \ \sim \ \frac{1}{2}{△}^2$$
$ \ $
$$\sqrt[n]{1 \ + \ △} \ - \ 1 \ \sim \ \frac{△}{n}$$
$ \ $
$$△ \ - \ \sin{△} \ \sim \ \frac{1}{6}{△}^3$$
$ \ $
$$\tan{△} \ - \ △ \ \si ...
基本积分公式
基本积分公式
$$1. \ \int{x^k}dx \ = \ \frac{1}{k \ + \ 1}x^{k + 1} \ + \ C,k \ne -1;$$
$
\left\{
\begin{matrix}
\int{\frac{1}{x^2}}dx = & -\frac{1}{x} + C \\
\int{\frac{1}{\sqrt{x}}}dx = & 2\sqrt{x} + C \\
\end{matrix}
\right.
$
$ \ $
$$2. \ \int{\frac{1}{x}}dx \ = \ \ln|x| \ + \ C$$
$ \ $
$$3. \ \int{e^x}dx \ = \ e^x \ + \ C;\int{a^x}dx \ = \ \frac{a^x}{\ln{a}} \ + \ C,a \ > 0且a \ \ne \ 1$$
$ \ $
$$4. \ \int{\sin{x}}dx \ = \ -\cos{x} \ + \ C$$
$ \ $
$$5. \ \int{\cos{x}}dx \ = \ \sin{x} \ + ...
基本求导公式
基本求导公式
$$1. \ (x^\alpha)^{\prime} \ = \ ax^{a \ - \ 1}$$
$ \ $
$$2. \ (a^x)^{\prime} \ = \ (a^x)\ln{a} \ \ \ (a>0, \ a \neq 1)$$
$ \ $
$$3. \ (e^x)^{\prime} \ = \ e^x$$
$ \ $
$$4. \ (log_ax)^{\prime} \ = \ \frac{1}{x\ln{a}} \ \ \ (a>0,a \neq 1)$$
$ \ $
$$5. \ (\ln{x})^{\prime} \ = \ \frac{1}{x}$$
$ \ $
$$6. \ (sinx)^{\prime} \ = \ cosx$$
$ \ $
$$7. \ (cosx)^{\prime} \ = \ -sinx$$
$ \ $
$$8. \ (\arcsin{x})^{\prime} \ = \ \frac{1}{\sqrt{1 \ - \ x^2}}$$
$ \ $
$$9. \ (\arccos{x})^{\prime} \ = ...
